SOSYAL AĞLARIN KÜÇÜK DÜNYASI: “ELDEN ELE AKTARALIM LÜTFEN!”

Hepimizin başına sık sık gelir: Farklı ortamlarda birlikte olduğumuz iki arkadaşınızın birbiriyle önceden tanış olduğunu öğrenebilirsiniz. Eşinizin iş arkadaşının nikahında, yirmi senedir görüşmediğiniz mahalle arkadaşınıza rastlayabilirsiniz. Amerika’daki oğlunuzun yemek yediği Yunanlı dönerci, kayınvalidenizin eski semtinde yaşamış bir İstanbullu olabilir. Hiç beklenmedik yerden ortak tanıdıklar çıkar.

Böyle rastlantılar o kadar yaygındır ki, “dünya küçük” diyerek şaşırmak artık bayatlamıştır bile. Peki bu gerçek mi, dünya gerçekten küçük mü? Bu kalabalık dünyada böyle denk düşmeler nasıl mümkün olabilir?

Bu soru bilimsel olarak “sosyal ağlar” başlığı altında incelenmekte. 1950lerden beri sosyolojide küçük ama saygın bir yeri olan bu alan, 2000’lerde bilişim ağlarının gelişmesiyle çok büyük bir ölçeğe taşındı ve gitgide gelişmekte.

Milgram ve “altı adım uzaklık”

20. yüzyılın önde gelen psikologlarından Stanley Milgram’ın (1933-1984) otoriteye itaati incelediği çalışmalarına Açık Bilim’de daha önce yer vermiştik. Yaratıcı ve ilgi alanı çok geniş bir bilimci olan Milgram 1960’larda “küçük dünya” fikrini incelemek için basit ama ilginç bir deney tasarladı. [5]

Milgram ABD’nin orta bölgelerinden (Kansas ve Nebraska) gönüllüler buldu. Çoğunlukla çiftçilerin yaşadığı, nüfus yoğunluğu düşük bu eyaletlerin ülkenin geri kalanına hem coğrafi hem de sosyal yönden “uzak” olduğu varsayıldı. Bu gönüllülere birer bilgi paketi gönderildi. Talimatlar şöyleydi:

• Boston’da yaşayan belli bir hedef kişiyi şahsen tanıyorsanız bu paketi doğrudan ona gönderin.
• Hedef kişiyi tanımıyorsanız, paketi, senli benli olduğunuz ve hedef kişiye ulaştırmasının daha kolay olduğunu düşündüğünüz birisine gönderin.
• İsminizi paketteki listeye yazın, ve pakette bulunan pullu kartpostalı araştırmacılara gönderin.

Paketi alan aradaki kişilerin de aynı talimatlara uyması ümidiyle deney başlatıldı. Boston’daki hedefe ulaşan paketlerdeki listeler, paketin bazen bir veya iki, bazen on küsür el değiştirdiğini gösteriyordu. Birçok insan eline geçen paketi gönderme zahmetine katlanmadı. Gönderilen 296 paketten 232 tanesi kayboldu. Ancak, hedefe ulaşan 64 paketin ortalama olarak altıya yakın sayıda el değiştirdiği görüldü.

Bu deney popüler kültüre, Milgram’ın kendisi bu tabiri hiç kullanmasa da, “altı adımlık mesafe” ifadesiyle yansıdı. 1991’de John Guare’nin bu kavramdan yola çıkarak isimlendirdiği “Six Degrees of Separation” oyunu New York’da büyük ilgi gördü. Oyunun 1993’de yapılan sinema adaptasyonu en iyi kadın oyuncu dalında Akademi ve Altın Küre ödüllerine aday gösterildi.

Milgram’ın yöntemi bazı metodolojik hatalar içeriyordu. Sözgelişi ilk denekler tipik insanlardan daha fazla “çevresi geniş” olanlardan seçilmişti. Ayrıca paketlerin elden ele aktarılma zinciri uzadıkça paketin onu tekrar göndermeyecek birine denk gelmesi ihtimali artıyordu. Bu iki hata daha uzun zincirlerin daha az temsil edilmesine yol açabilirdi. Öte yandan, paketi alanlar, herkesin arkadaşlık bağlarını tam bilemeyecekleri için bir tahminde bulunuyor ve paketi muhtelemen gereğinden daha uzun bir yoldan yolluyorlardı. Bu da tersine, zincirlerin gereğinden uzun görünmesine yol açabilecek bir etkiydi.

Bu yöntem zaaflarına rağmen Milgram’ın sonuçları çok yanlış değildi. Daha yakın zamanlarda elektronik ortamda yapılan deneyler benzer sonuçlar verdi. Sözgelişi 2003’de e-posta ile yapılan bir araştırma, herhangi bir kişiden belirli bir hedefe ulaşmak için beş ila yedi adımın yeterli olduğu sonucuna vardı [1]. Gerçek arkadaşlık bağlarına yakın bir ağ olan Facebook ağının incelenmesi, Mayıs 2011 itibariyle kullanıcılar arası uzaklığın yaklaşık beş adım olduğunu gösterdi [2]. Dünya gerçekten de küçük görünüyor!

Bunlar elbette ortalama değerler. Sibirya’da yaşayan bir rengeyiği çobanından Amazon ormanlarındaki bir yerliye ulaşmak için ortalamadan daha fazla adım gerekecektir. Asıl önemli olan nokta, dünyadaki milyarlarca insandan herhangi birisinden bir başkasına, iki elin parmaklarıyla sayılabilecek kadar adımda ulaşabiliyor olmamız.

Kevin Bacon Oyunu

Tanınmış oyuncu Kevin Bacon’un “o kadar çok film çevirdim ki, muhtelemen beraber oynamadığım kimse kalmamıştır” demesi üzerine genç sinemaseverler Kevin Bacon Oyunu’nu icat ettiler. Oyunun amacı, herhangi bir aktörden yola çıkarak, onunla aynı filmde oynayan aktörlerden bir zincir yaparak Kevin Bacon’a ulaşmak, ve bunu mümkün olduğunca kısa bir zincirle yapmak. Böyle oluşturulan en kısa zincirin uzunluğu, o aktörün “Bacon sayısı” olur.

Sözgelişi, Russell Crowe’dan başlayalım. Crowe ile Bacon’ın hiç bir filmde ortak rolleri yok. Ancak Crowe “Man of Steel” (2013) filminde Kevin Costner’la beraber oynadı. Kevin Costner da “JFK” (1991) filminde Kevin Bacon’la beraberdi. Yani Russell Crowe’un Bacon sayısı iki.

Crowe da Bacon gibi pek çok filmde rol almış bir oyuncu, o yüzden bu sayının küçüklüğü pek şaşırtıcı olmayabilir. Bu sefer başka birinden, Yıldız Savaşları’nın başrol oyuncusu olmasına rağmen daha sonra pek az sinema filminde oynayan Mark Hamill’den başlayalım. Onun Bacon’a mesafesinin çok daha büyük olmasını bekleriz, ama şaşırtıcı şekilde yine sadece iki adımda Bacon’a ulaşıyoruz. Hamill “Corvette Summer” (1978) filminde Ken Tipton’la oynadı, o da “Planes, Trains & Automobiles”da (1987) Kevin Bacon’la beraberdi.

Genellikle bir oyuncudan diğerine ulaşmak için birden fazla kısa yol bulunabilir. Hamill’den Bacon’a giden başka birçok yoldan biri Carol Martin’den geçiyor. “The Raffle” (1994) filmde Mark Hamill ile Carol Martin beraberdi, Martin de 1980’de “Hero At Large” filminde Bacon’la oynamıştı.

Tamam, ama bunların hepsi sonuçta Hollywood oyuncusu. Uzak bir ülkede yaşayan, Hollywood’a adımını atmamış bir oyuncunun Bacon’a çok daha uzak olacağı tahmin edilebilir.

Sözgelişi bir Türk oyuncuyu, Kemal Sunal’ı alalım. Kemal Sunal “Propaganda”da (1999) Meltem Cumbul’la oynadı. Cumbul “The Alphabet Killer”da (2008) Michael Ironside ile beraberdi. Ironside ise “X-Men: The First Class”de Kevin Bacon’la rol arkadaşıydı. Öyleyse Kemal Sunal’ın Bacon sayısı sadece üç.

Dahası, Ayhan Işık, Nubar Terziyan, Nuri Alço ve Fatma Girik’in de Bacon sayıları üç. Deneme yanılmayla daha yüksek sayılar bulmak epeyce zor. Sinema bilginiz delicesine derin değilse, herhangi bir oyuncunun Kevin Bacon’a hangi filmlerle bağlandığını görmek için The Oracle of Bacon sitesine bakabilirsiniz.

Oracle of Bacon, internet film veritabanı IMDB’nin düzenli olarak güncellenen veritabanını kullanıyor. Bu veritabanındaki iki milyon oyuncuyu bir milyondan fazla film ile birbirine bağlarsanız ve bilgisayar yardımıyla hepsinin Bacon’a uzaklığını hesaplarsanız, bunların ortalama Bacon sayısı 3’e çok yakın çıkmakta. En yüksek Bacon sayısı ise 8. Başka bir deyişle, bu milyonlarca oyuncudan her biri en fazla 8 adımda Bacon’a ulaşabiliyor. Dahası, 1,5 milyon gibi ezici bir çoğunluk Bacon’a sadece 2 veya 3 adım uzakta.

Bu ilginç durumun sebebi ne? En önemli sebep Bacon’un üretkenliği. Birçok filmde oynadığı için çok sayıda farklı çalışma arkadaşı olmuş, bu da onun ulaşılabilirliğini artırmış. Çevreniz genişse, çok arkadaşınız varsa, üçüncü bir kişinin sizinle ortak bir arkadaşı bulunması ihtimali daha yüksektir.

Ancak, Bacon çok özel bir yerde değil. Kevin Bacon yerine, Dustin Hoffmann oyununu oynadığımızı düşünelim. Yine her oyuncunun, ortak çevrilen filmler aracılığıyla kurdukları bağlantıları takip ederek Dustin Hoffmann’a da az sayıda adımda (ortalama 2,94) ulaşırız. Yani Hoffmann’a ulaşmak, az daha kolaydır.

Öyleyse, her oyuncuya tek tek bu ölçüyü uygulayarak, en kolay ulaşılabilen aktörün kim olduğunu bulabiliriz. Bunu elbette elle yapmayız, çünkü dört trilyon aktör çifti (iki milyon kere iki milyon) arasındaki en kısa mesafeyi bulmak gibi zahmetli bir iş yapmamız gerekir. Ama bilgisayarlar böyle işler için var.

Hesabın sonunda, bütün sinema oyuncularına olan mesafesi en yakın olan aktörün Harvey Keitel olduğu ortaya çıkıyor. Bütün aktörlerin “Keitel sayısı”nın ortalaması sadece 2,85.

Bir dairenin içinde, dairenin çevresindeki noktalara ortalama uzaklığı en küçük olan nokta merkez noktasıdır (diğer iç noktalar, çevredeki bazı noktalara daha yakın olsalar da çoğunluğa uzak kalırlar). Bu geometrik benzetmeden yola çıkarak Harvey Keitel’in sinema dünyasının merkezinde olduğunu söyleyebiliriz. Ancak bu merkez epeyce dolu; merkeze en yakın ilk bin kişinin sayıları 2,85 ila 3,06 gibi dar bir aralıkta değişiyor.

Ağların matematiksel dili

Ağların matematiksel incelenmesinde basit bir model kullanılır: Bir ağ, belli sayıda noktalar ve bunların bazıları arasındaki bağlantılardan ibarettir. Milgram’ın incelediği türden arkadaşlık ağlarından bahsediyorsak, noktalar kişileri temsil eder ve iki kişi yakın arkadaşsa aralarında bir bağlantı varsayarız. Hollywood oyuncuları ağında noktalar yine insanları temsil eder, ama aralarındaki bağlantı arkadaşlık ilişkisiyle değil aynı filmde rol almalarıyla kurulur.

Bu yaklaşım basitliğine rağmen çok kullanışlıdır ve birbirinden çok farklı sistemleri temsil etmek için kullanılabilir. Nispeten bariz olan iletişim ağları veya karayolu ağlarının yanı sıra, sözgelişi protein etkileşim ağları veya ekoloji ağları da oluşturulabilir. Birincisi hücre içindeki süreçlerde birbiriyle etkileşen proteinler arasında bağlantı kurarak, ikincisi ise bir tür başka bir türü avlıyorsa avı avcıya doğru bağlayarak inşa edilir.

Ağ dilinde bir aktörün Bacon sayısı, o aktörle Bacon arasındaki “uzaklık” olarak bilinir. Ağda iki nokta seçelim ve bağlantıları takip ederek birinden diğerine bir yol çizelim. Birçok uzun ve dolambaçlı yol bulunabilir, ama biz en az adım gerektiren(ler)i seçelim. Bunların uzunluğu, iki noktanın birbirine “uzaklığı”olarak tanımlanır. Ortalama Bacon sayısı ise, diğer aktörlerin Bacon’a olan bu uzaklıklarının ortalamalasıdır.

Ağdaki bir noktanın “merkeziliği” de bu uzaklıklardan yola çıkarak hesaplanır. Belli bir nokta alınıp bütün diğer noktaların uzaklıklarının tersinin (bire bölümünün) ortalaması, o noktanın “yakınlık merkeziliğini” verir. (Uzaklıkların tersini alıyoruz çünkü herkese yakın olan bir noktanın merkezilik ölçüsünün büyük olmasını istiyoruz.) Buna göre Harvey Keitel en yüksek yakınlık merkeziliğine sahip olan oyuncu olacaktır.

Bir ağın çapı, yine daireden ilham alarak, noktalar arasındaki en uzun mesafe olarak tanımlanır. Yani bütün nokta çiftlerini tek tek tarayalım, birbirinden en uzak (en fazla adım gerektiren) çifti bulalım; bu ikisinin arasındaki uzaklık ağın çapı olur.

Aktörler ağının çapının ne olduğunu bilmesek de bir tahminde bulunabiliriz. “Oracle of Bacon” herkese en uzak olan aktörün  ortalama uzaklığının 10,105 olduğunu hesaplamış. Adı açıklanmayan bu aktöre en uzak olanlar sadece 15 adım mesafede, demek ki ağın çapı da 15.

Yani, milyonlarca aktörden herhangi ikisini seçin, birinden diğerine en fazla 15 adımda ulaşabilirsiniz, o da çok şanssızsanız. Çok daha yüksek ihtimalle 4-5 adım yeterli olacaktır. Küçük dünya ağlarının matematiksel tanımı da böyledir: Ağın çapı, ağdaki nokta sayısından çok çok küçük olmalıdır.

Şu en uzakta duran aktöre daha ayrıntılı bakalım. Aşağıdaki tablo, bu aktöre her uzaklık değerinde kaç tane aktör olduğunun dağılımını veriyor.

Uzaklık	Kişi sayısı
0	1
1	7
2	2
3	4
4	2
5	33
6	7
7	411
8	10068
9	189897
10	1054696
11	323166
12	24544
13	2426
14	191
15	30

Aktörümüzün aynı filmde beraber çalıştığı sadece yedi kişi var. Muhtemelen sadece bir veya iki tane çok düşük bütçeli filmde oynamış. Kendisiyle oynayanlarla beraber oynayan (ama onunla doğrudan beraber çalışmayan) sadece iki aktör var. Bir sonraki katmanda sadece dört kişi, sonrakinde ise sadece iki kişi mevcut. Garip bir şekilde birçok yalıtılmış aktör, birbirleriyle de pek biraraya gelmeden, olağanüstü küçük kadrolu filmlerde yer almışlar. Ancak yedinci adımdan sonra belli bir kalabalık oluşmaya başlıyor, ondan sonra üç adım daha atarak bir milyon kişilik bir katmana ulaşıyoruz.

Bu örnek, küçük bir dünyada, herkesten uzak kalmanın aslında ne kadar zor olduğunu gösteriyor.

Ağ modelleri

Çok sayıdaki noktaların herhangi birinden diğerine, nispeten az sayıda adımla ulaşabilme anlamına gelen küçük dünya özelliği şaşırtıcılığına rağmen çok yaygın. Birbirinden çok farklı doğal ve yapay ağda bu özellik gözleniyor [3]. Birkaç örnek vermek gerekirse:

• Internet, WWW, elektrik şebekesi, ulaşım hatları gibi teknolojik ağlar.
• Sinir bağlantıları, ekolojik besin zinciri ağları, metabolizma tepkimeleri, protein etkileşmeleri gibi biyolojik ağlar.
• Arkadaşlık, eşyazarlık, telefon konuşmaları, e-posta etkileşimi gibi sosyal ağlar.

Bu yaygınlığın nedeni nedir? Bunu anlamak için “ağ modelleri” oluşturulur. Her model gibi ağ modelleri de önemli miktarda sadeleştirme içerir. Elimizdeki gerçek ağın özelliklerini taklit edebilecek bir matematiksel bir tanım oluşturur ve bununla neleri açıklayabileceğimizi görmeye çalışırız. Amacımız, nasıl bir bağlantı deseninin bir küçük dünya oluşturabileceğini anlamak.

Sade ve simetrik düzenlerle başlayalım. Meselâ dünyada herkes birbiriyle arkadaşsa, küçük dünya şartı hemen sağlanır. Bize gelen mektubu gerekli kişiye doğrudan veririz. Ama yedi milyarlık bir dünyada bunun gerçekçi olmadığı belli.

Düzenli, yani her bireyin aynı sayıda bağlantıya sahip olduğu bir ağ düşünelim. Ağdaki noktalar, aşağıda gösterildiği gibi her iki yanındaki ikişer komşusuna bağlanmış olsun. Kolay görülmesi için sadece 16 noktası bulunan bu ağda en uzak noktaya gitmek için sadece dört adım gerekmesi sizi aldatmasın; bin noktamız bulunsaydı karşı uca gitmek için 250 adım atacaktık. Böyle bir ağda küçük dünya özelliği görmeyiz çünkü bir ucundan diğerine gitmek için çok sayıda adım gerekir. (Gerçek hayatta dört kişiyle değil belki dörtyüz kişiyle bağlantıdayız, fakat yedi milyarlık insan nüfusunda bu yine çok sayıda adım gerektirecektir).

Ancak, düzenli ağ modeli kısmen de olsa isabetli. İnsanlar genellikle birbirini tanıyan gruplar (“klikler”) şeklinde düzenlenmiştir. İşimizde, okulumuzda, mahallemizde herkesin birbirini tanıdığı küçük gruplar içindeyizdir. Sosyal ağların bir özelliği küçük “çap”lı olmaksa, başka bir özelliği de “öbeklenme”dir. Bu terim, benim iki arkadaşımın yüksek ihtimalle birbirleriyle de arkadaş olduğunu ifade eder. Bu özellik, okul ve iş arkadaşlığı gibi bariz durumların yanı sıra, daha şaşırtıcı durumlarda da kendini gösterir. Bir okul arkadaşınız ve bir iş arkadaşınızın birbirleriyle tanış olduğunu öğrenebilir, tatil köyünde tanıştığınız birisiyle İstanbul’da aynı lokantanın müdavimi olduğunuzu keşfedebilirsiniz.

Matematikçi Steven Strogatz ve Duncan Watts, düzenli ağ modelinde küçük bir değişiklik yaptılar. Bu modelde her nokta, normal çevresindeki komşularına bağlantılarına ek olarak, küçük bir olasılıkla, seçilen rastgele uzak bir noktaya bağlanmaktadır. Yani, az sayıda nokta kendi yakın çevresinin dışından, “uzak diyarlardan”arkadaş edinmektedir.

Watts ve Strogatz, çok az sayıda uzak bağlantının bile ağın çapının birdenbire küçülüvermesini sağladığını gördüler. Ellerinde bir küçük dünya vardı şimdi. Üstelik ağın öbeklilik özelliği de devam ediyordu. İkilinin 1998’de Nature dergisinde yayınladıkları kısa makaleleri sosyal ağların matematiksel analizinde bir çığır açtı ve bu alandaki çalışmalara yeni bir soluk verdi.

Küçük dünya özelliğine sahip başka pek çok ağ yapısı hayal edilebilir. Başka bir örnek olarak, varsayalım ki ağdaki bağlantılar tamamen rastgele kuruluyor olsun. Her nokta sırayla bütün diğer noktalara baksın, her biri için bir piyango çeksin ve sonuca göre o noktayla bağlantı kurup kurmamaya karar versin.

Bu modele “Erdös-Renyi modeli” adı verilir. Modele isimlerini veren ünlü matematikçiler bu modeli 1959’da ortaya atarken sosyal ağları incelemekten çok, soyut ağ teorisinde bir ispat aracı oluşturmayı düşünmüşlerdi. Yine de bu model, gerçek ağların incelenmesinde bir mihenk taşı görevi görmekte.

Erdös-Renyi ağları da küçük dünya özelliğine sahiptir. İnsan toplumunu temsil etmek üzere, meselâ bir milyar nokta alalım, ve bunların her birinin aşağı yukarı yüz arkadaşı olması için bağlanma olasılığını on milyonda bire ayarlayalım. Matematiksel sonuçlar bu ağın çapının sadece beş civarında olacağını söylüyor. Daha fazla nokta eklemek çapı logaritmik olarak, yani çok yavaş artırır. Bir yerine on milyar insan varsa bu rastgele ağın çapı sadece altıya çıkar. İşte size küçük dünya.

Ama Erdös-Renyi ağlarının önemli bir eksiği var. Ağ üzerindeki bir noktanın iki arkadaşının birbirleriyle de arkadaş olması (yani üçlü bir arkadaş grubu oluşturmaları) neredeyse imkânsızdır. Yukarıdaki örnekte, iki kişi arasında bağlantı olması ihtimali on milyonda birse, üç kişinin birbiriyle arkadaş olması ihtimali yüz trilyonda birdir. Bu da, gördüğümüz gibi, gerçek sosyal ağlara aykırı düşer.

Watts-Strogatz modeli elbette sosyal bağlantıların en iyi matematiksel temsili değil. Modeller büyük miktarda sadeleştirme içerir, böylece temel süreçlerin daha iyi anlaşılmasını sağlarlar. Başka modeller, incelenen sosyal ağın yapısına göre farklı varsayımlar içerebilirler ve incelenecek olguya göre farklı derecelerde ayrıntı içerebilirler.

Son onbeş yıldır karmaşık ağ araştırmalarında bir patlama yaşanmakta. Eski teorik araçlara yenileri eklendi ve dijital bilgi depoları gerçek ağlara dair verileri daha erişilebilir hâle getirdi. Ağlarda saklı birçok ilginç özellikler daha keşfedilmeyi bekliyor, ve bu keşif süreci daha yıllarca sürecek. İşin daha da güzel yanı, temel ağ kavramlarının sadeliği sebebiyle, amatör araştırmacıların da bu sürece katılmalarının mümkün olması.

Kaynaklar

1. P.S. Dodds, R. Muhamad, D.J. Watts, “An Experimental Study of Search in Global Social Networks”, Science, Vol. 301 no. 5634, pp. 827-829
2. Johan Ugander, Brian Karrer, Lars Backstrom, Cameron Marlow, “The Anatomy of the Facebook Social Graph”, arXiv:1111.4503 [cs.SI]
3. M. E. J. Newman, “The structure and function of complex networks”, SIAM Review 45, 167-256 (2003).
4.  Chung-Yuan Huang, Chuen-Tsai Sun, Hsun-Cheng Lin, “Influence of Local Information on Social Simulations in Small-World Network Models”. Journal of Artificial Societies and Social Simulation vol. 8, no. 4 (2005)
5. Stanley Milgram, “The Small-World Problem”, Psychology Today, Vol.1, no.1, pp 61-67 (1967)
6. The Oracle of Bacon, http://oracleofbacon.org/ (Erişim tarihi 6.4.2014)