GÖDEL SORUYOR: BİLGİSAYAR DÜŞÜNEBİLİR Mİ?

Eksiklik Teoremi Öncesi Matematik

Matematik her zaman kesinliğin bilimi olarak görülmüştür. Antik Yunan’dan beri insanlar matematiğin bu kesinliğine ve doğruluğuna hayran kalmıştır. Matematiğin tanrının bir hikmeti olduğu düşünülmüştür. “Matematik” kelimesinin yerine, “geometri” kelimesi kullanılan Antik Yunan’da Platon’un Akademisi’nin kapısında şöyle yazar.

“Geometri bilmeyen giremez.”

Galileo’nin şu sözü bu anlayışı özetlemektedir.

“Tanrı kainatı matematik dilinde yaratmıştır.”

Leonardo Da Vinci’nin şu sözü de buna bir örnek olarak gösterilebilir. “Bir bilim matematiksel olduğu ölçüde yetkindir.”

Ancak bazı paradokslar bu kesinliğe ve sağlamlığa gölge düşürmektedir. (Örn: Russell ve Yalancı paradoksu)

1) Russell Paradoksu [3]

Sadece bir erkek berberin olduğu bir kasaba düşünün. Bu berber sadece kendini traş edemeyenleri traş etmektedir. Bu kasabada, her erkek şunlardan birisini yaparak daima tıraşlı gezmek zorundadır:

1. kendini tıraş ederek, ya da
2. berbere giderek.

Bu ifade, aşağıdaki paradoksal soru haricinde mantıklı görünmektedir:

Berberi kim tıraş ediyor?

Bu soru bir paradoks yaratmaktadır. Berber sadece aşağıdaki kişilerden biri tarafından tıraş edilebilir:

1. kendisi,
2. berber (yine kendisi).

Fakat, bu seçeneklerden hiçbiri geçerli değildir. Çünkü;

• Eğer bu kişi kendini tıraş ederse, berber (kendisi) tarafından tıraş edilmemeli.
• Eğer bu kişi kendini tıraş etmezse, berber (kendisi) tarafından tıraş edilmeli.

2) Yalancı Paradoksu (Epimenides paradoksu) [4]

Epimenides bir Giritli idi ve şöyle dedi.

“Tüm Giritliler her zaman yalan söyler.”

Kendisi de bir Giritli olduğu için söylediği önerme de yanlış olacaktır.

Russell ve Whitehead’in Principia Mathematica’sı ve David Hilbert’in programı ile paradoksların çözümleri aranmış ve matematik sağlamlaştırılmak istenmiştir. 1931’de ise Kurt Gödel’in yayımladığı “Principia Mathematica ve ilişkili dizgelerin biçimsel olarak kararlaştırılamayan önermeleri üzerine [7]” adlı yapıt sayesinde bu görüşte bir sarsılma olmuştur. Bu yapıtta aksiyomatik bir sistemde kanıtlanamayan ama doğru olan önermeler olduğu kanıtlanmıştır.

Eksiklik Teoremi Öncesi Matematik Felsefesi

Matematik felsefesinde matematiğin temelleri hakkında çeşitli görüşler mevcuttur. Bizim için önemli olan görüşlerden biri formalizm ya da diğer adıyla biçimselcikliktir. Bu akımın en önemli temsilcisi David Hilbert’tir. Bu akıma göre, matematikteki tüm önermeler belirlenen ve doğru olarak kabul edilen aksiyomlar sayesinde mekanik işlemler doğrultusunda kanıtlanabilir. Aksiyom yada diğer adlarıyla belit veya postulat, başka bir önermeye götürülemeyen ve kanıtlanamayan, böyle bir geri götürme ve kanıtı da gerektirmeyip, kendiliğinden apaçık olan ve böyle olduğu için öteki önermelerin temeli ve ön dayanağı olan temel önermeye denir [5]. Aksiyomatik sistemler Öklid’ten beri bilinmektedir. Öklid beş tane aksiyomundan yola çıkarak ispatlar yapmıştır. Öklid’in aksiyomları şunlardır:

1. İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.
2. Bir doğru parçası iki yöne de sınırsız bir şekilde uzatılabilir.
3. Merkezi ve üzerinde bir noktası verilen bir çember çizilebilir.
4. Bütün dik açılar eşittir.
5. Bir doğruya, dışında alınan bir noktadan bir ve yalnız bir paralel çizilebilir [6].

Paralellik aksiyomu olarak bilinen 5. aksiyom, 19. yüzyılda değiştirilerek Öklid-dışı geometriler (Non-Euclidean geometry) oluşturulmuştur [8]. Buradan yola çıkarak aksiyomatikleştirme giderek daha da yaygınlaştı. 20. Yüzyılda birçok aksiyomatik sistem kuruldu ve sonunda Hilbert de matematiğin aksiyomlaştırılabileceğini düşündü. David Hilbert’in ortaya attığı programda matematikte belli şartların sağlanması gerekiyordu. Hilbert’in esas amacı matematiğin temellerini sağlamlaştırmaktı [1][8].

1) Matematiğin biçimselleştirilmesi (A formalization of all mathematics) :Düzgün şekilde belirlenmiş kurallardan üretilmiş matematiksel ifadelerin sıkı bir biçimsel dilde yazılması.

2) Tutarlılık (Consistency): Biçimselleştirilmiş matematikte çelişki olmadığı kanıtlanmalı.

3) Tamlık (Completeness): Doğru ve yanlış olan tüm matematiksel ifadeler biçimsel matematik içinde kanıtlanabilmeli.

4) Karar verilebilirlik (Decidability): Matematiksel ifadelerin doğru yada yanlış olduğunu gösteren bir algoritma olmalı [1][8].

Biçimselleştirilmiş matematik sayesinde artık hangi önermenin doğru, hangisinin yanlış olduğu bilinecek ve belirsizlik yok edilecekti. Hilbert 1900’de Paris’teki Uluslararası Matematik Kongresi’nde çözülmesi gereken 23 adet matematik problemini açıkladı. Bunlardan 2. ve en önemli olanı şu idi.

“Aritmetiğin aksiyomlarının tutarlı olduğunu kanıtlayın.”

Hilbert 1930’da bir konuşmasında bu konuda kendi görüşünü kısaca şöyle açıklamıştır.

“Wir müssen wissen, wir werden wissen. (Bilmeliyiz, bileceğiz.) [16]”

Diğer bir görüş ise Frege ve Russell’ın en önemli temsilcileri olduğu “Mantıksal Tez (Logicism)”den gelmektedir. Bu görüşe göre matematik mantığın bir alt dalıdır ve matematikteki tüm doğrular belirlenen aksiyomlar sayesinde mantıksal çıkarım zincirleriyle ortaya çıkacaktır.

Russell ve Whitehead’in yazdığı ve 3 cilt olarak yayımlanan ünlü eser Principia Mathematica, “Matematiğin tüm doğruları mantıksal çıkarım zincirleriyle ortaya çıkarılabilir” düşüncesiyle ortaya çıkmıştır [8]. Bir aksiyom seti ve çıkarım kuralları belirlenir. Bunun üzerine belli bir matematiksel probleme mantıksal çıkarım kuralları ve aksiyomlar sayesinde varılmaya çalışılır [18]. Örneğin bir tane aksiyom ve bir tane de çıkarım kuralı belirleyelim. Aksiyomumuzu “Bütün insalar ölümlüdür.” olarak belirleyelim. Çıkarım kuralımız ise “Bir şey bir kümeye ait ise onun bütün özelliklerine sahiptir.” olsun. “Sokrates bir ölümlüdür.” önermesini, oluşturduğumuz bu basit sistem ile ele alalım. Açıkça görülüyor ki Sokrates bir insandır. O yüzden insan kümesinin tüm özelliklerine sahiptir. Bu yüzden o da ölümlüdür.

Matematik Felsefesi adlı kitabında Stephen F. Barker bu konuya şöyle değinir.

“Sayı matematiğinin tüm yasalarının yalnız mantıktan türetilebileceği ya da mantığa “indirgenebileceğine” dair öğreti “mantıksal tez” olarak bilinmektedir. İlk kez Frege tarafından ortaya konmuş, sonra ondan bağımsızca Russell tarafından formüle edilmiştir. Principia Mathematica (PM)’da Whitehead ve Russell, tezi ayrıntılarıyla inşa etme işini üstlenmişlerdi. Mantıksal teze göre, aritmetiğin yasaları ve sayı matematiğinin kalanı, geometrinin teoremleri kendi aksiyomlarıyla ilişkili olduğu gibi, mantığın yasalarıyla da ilgilidir [8].”

Eksiklik Teoremi

1931’de Gödel hem Hilbert programına hem de Principia Mathematica’ya cevap olan kitabını yayımladı. Bu kitapta kısaca“Eksiklik Teoremi (Incompleteness Theorem)” olarak bilinen ve   iki alt önermeden oluşan teoeremini tanıttı. 1. ve 2. “Eksiklik teoremi” olarak adlandırılan teoremler şöyledir.

1. Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarlı ise eksiksiz değildir [2][8][9][10].
2. Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını sistemin kendi içinden (sistemin kendi formüllerini ve işlemlerini kullanarak) ispatlamak mümkün değildir [2][8][9][10].

Bu teorem kısaca şunu der. Aksiyomatik bir sistemde kanıtlanamayan ama doğru olan önermeler vardır ve aksiyomatik sistemin tutarlılığı sistemin kendi kuralları kullanılarak kanıtlanamaz.

 Gödel bu kanıtlamayı kısaca şöyle yapmıştır. Yukarıda tanıttığımız yalancı paradoksuna benzer bir ifade kurmuştur. Bunu Gödel numaralandırması (daha ayrıntılı incelemek isteyenler için [9][10]) dediğimiz ve her önermeye farklı sayıların geleceği bir sistemle aritmetiğin bir önermesi haline getirmiştir. “Sokrates bir insandır” önermesi bile artık bu numaralandırma sayesinde aritmetik bir önerme haline gelmiştir. Yani artık kurduğumuz paradoks aritmetik bir problemdir.

Gödel’in ilk teoreminin kanıtlaması kısaca şu şekildedir.

Varsayalım ki G denen bir önermemiz olsun ve onun doğruluğu veya yanlışlığını kanıtlamaya çalışalım. G önermesi Gödel Numaralandırması sayesinde “Bu cümle yanlıştır.”a denk  aritmetikle ilgili bir önerme haline getirilir. Başka bir deyişle  Gödel Numaralandırması “Bu cümle yanlıştır.” ifadesini aritmetik içinde kodlamamızı sağlıyor.

G=G’nin doğruluğu kanıtlanamaz.

G doğru ise kendi kendinin doğru olamayacağını iddaa ettiği için bir çelişki oluşur. Eşitliğin sol tarafında kendisinin doğru olduğunu iddaa ederken, sağ tarafında kendisinin kanıtlanamayacağı, yani doğru olamayacağını söyler.

G’ye yanlış dediğimizde ise  G bu sefer de kendisinin doğru olduğunu iddaa eder.

Görüldüğü gibi bir çelişki ortaya çıktı. Doğruluğu ve yanlışlığını kanıtlayamadığımız bir G önermesine sahibiz [9][10].

Yani “G=G” önermesini biçimsel dizgede kanıtlamak demek onu tutarsız yapmak demektir.

Ama metamatematiksel olarak görülüyor ki “G=G” doğru bir şeyi söylüyor. Kendisi kanıtlanamaz. Yani biçimsel dizgemiz tam ve tutarlı olduğunu iddia ediyor ise tutarlı değildir. Burada Hilbert Programı’nda talep edilenlerin aslında olamayacağını göstermiştir. Aynı zamanda PM içinde de mutlaka kanıtlanamayan ifadeler olduğunu göstermektedir. Kısaca biçimsel olarak tanıtlanan tüm dizgelerde doğru olduğunu bildiğimiz ama kanıtlanamayan önermeler vardır.

Bu duruma şöyle bir çözüm bulunmak istenebilir. G’yi bir aksiyom olarak ekleyelim ve sorunu çözelim. Ancak “K=K kanıtlanamaz” dersek sorun yine ortaya çıkar. Yani bundan kaçış yoktur.

2. Eksiklik teoreminde ise Gödel ilk teoreminde elde ettiği sonucu kullanıyor. Gödel 2. eksiklik teoreminde sistemin kendi aksiyom ve çıkarım kurallarıyla kendi tutarlılığının kanıtlanamadığını göstermiştir. Bunu kısaca şu şekilde yapmıştır.

A diye bir önerme oluşturalım ve yine onun doğruluğunu veya yanlışlığını kanıtlamaya çalışalım.

A=Biçimsel dizgemiz tutarlıdır.

A doğruysa biçimsel dizgemizde çelişki olmamalı. Yani her önerme ya doğru ya yanlış olmalı. Bir önerme hem doğru hem de yanlış olmamalıdır. G’de bu sisteme ait bir önerme ve bu yüzden G’de doğru ya da yanlış olmak zorundadır.

G’nin bir çelişki içerdiğini Gödel göstermiştir.

O zaman “Bir biçimsel dizgenin tutarlılığı kendi içinde kanıtlanamaz” sonucuna varılır [9][10].

PM ve Hilbert Programı bu teoremden sonra artık ayakta kalamaz.

Eksiklik Teoreminin Yapay Zekaya Etkileri

Teoremi anlattıktan sonra artık bizim için neden önemli olduğunu açıklamanın da zamanı geldi. Bu teorem 20. yüzyılın en önemli teoremlerinden biridir ve matematik ve bilgisayar bilimini derinden etkilemiştir. Gödel teoremini ortaya sürdükten bir süre sonra, Alan Turing sonsuza kadar hatasız hesap yapabilen ve sınırsız depolama kapasitesine sahip olan soyut bir makine olan “Turing Makinesi”ni tanımlar. Bu makine her türlü algoritmik problemi hesaplayabilir. Turing’in ortaya koyduğu teoreme göre tüm bilgisayarlar Turing dengidir. Yani günümüzdeki bilgisayarlar da Turing makinesinin somut bir biçimidir. Daha sonra Turing bazı problemlerin algoritmik bir çözümü olmadığını farkeder. Böylece ‘durma problemi’(Halting problem) -Turing Makinesinin bir problemin çözümünün olduğuna ya da olmadığına karar verememesi sorunu – patlak verir. Bunun başlıca sebebi de Gödel’in eksiklik teoremidir. Turing, eksiklik teoremine benzer bir şekilde durma problemini çözecek bir algoritma olmadığını kanıtlamıştır [17][19]. Bilgisayarın algoritmaları kullanarak karar veremeyeceği yani gerçekleştiremeyeceği işlemler vardır. Gödel bu konuda kendi G önermesinden başka örnek vermemiştir. Ancak eğer G önermesini bilgisayara çözdürmeye kalkarsak bilgisayarda bir algoritma üzerinden yani biçimsel mantığın bir yöntemiyle sorunu çözmeye çalıştığından G’yi çözemeyecektir. Bu tarz çözülemeyecek problemlere örnek olarak Goldbach Hipotezi, yani “2’den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilir”, sıkça verilir [7][8].

Bildiğimiz gibi yapay zekada da bir algoritma biçimsel mantık çerçevesinde oluşturulur ve ona göre çözüm aranır. Biçimsel mantığı kısaca şöyle tanımlayabiliriz.:

Akıl yürütme için belli tanımlar, aksiyomlar, çıkarım kuralları ve simgeler tanıtılır ve bunun üzerine kurallara göre akıl yürütülür. Temel yasaları şu şekildedir.

1) Özdeşlik yasası (A=A): A kendisine eşittir.

2) Çelişki yasası (AA’): A hem doğru hem yanlış olamaz.

3) Ara durumun dışlanması yasası (AB): A ya doğrudur ya da yanlış. Bir ara durum olamaz.

Hegel yukarıdaki 2. ve 3. yasanın 1.’den türeme olduğunu düşünür [12][14]. Biçimsel mantık ile oluşturulmuş algoritmaların en son dayanağı özdeşlik ilkesidir. Yani A=A’dır. Tanımları verilen aksiyomlar ile algoritmalar oluşturulur ve bir probleme çözüm aranmaya çalışılır. Eksiklik teoremi de bu yasaya göre oluşturulan tüm algoritmalarda ortaya çıkar. Yani çözemeyeceğimiz ama doğru olan problemler vardır ve yapay zeka asla insanın bildiği tüm doğrulara erişemez. Peki insan özdeşlik ilkesi göre mi düşünür? O da bilgisayar gibi kendine aksiyomlar kümesi oluşturup oradan mantıksal çıkarımlar yoluyla mı hareket eder?

Yapay zekada insan zekası sanki değişmeyen bir yapı olarak ele alınır. Oysa insan zekası somut olanın somut tahlilini yaparak değişir. Yapay zekada, insanın hata yapmadan asla öğrenemeyeceği unutulur ve her şeyi belirlenen algoritmalar ile çıkarım yoluyla çözülebileceği düşünülür [12][13][14][15]. Bir çocuğun sobaya elini değdirerek öğrendiği acıdan ve yanmadan ders alarak sobaya bir daha dokunmaması, oluşturulan bir algoritma ile önceden bilinmeye çalışılır. Zamanı durdurur, değişmeyen bir dünya ile alakalı problemleri çözmeye çalışır. Mantığın tüm canlılığı yok edilir ve Hegel’in ifadesiyle, “bir iskeletin cansız kemiklerine” dönüştürülür [12][14].

Oysa insan zekâsının biçimsel mantık ile çalışmadığını düşünenler de vardır. Hegel özdeşlik yasasını derinden eleştirmiştir. Daha sonra “diyalektik mantık” adıyla bilinen mantığı savunanlar, insan zekâsının biçimsel mantığın yasalarına göre çalışmadığını ileri sürmüşlerdir. Özdeşlik yasasını redderek tez-antitez-sentez ile doğrunun elde edileceğini savunmuşlardır [13][14][15]. Çelişki olmadan herhangi bir gelişme olamayacağı ve karşıtların birliği yasası kabul edilir. Bir dahaki yazımızda Eksiklik Teoremine ve yapay zekâya diyalektik mantık ile bakmaya çalışacağız. Belki de  ürettiğimiz bu tez, antiteziyle senteze uğrayarak gelişecektir.

Kaynaklar

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert’s_program

[2] http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del’s_incompleteness_theorems

[3] http://tr.wikipedia.org/wiki/Berber_paradoksu

[4] http://tr.wikipedia.org/wiki/Epimenides_paradoksu

[5] http://tr.wikipedia.org/wiki/Belit

[6] http://tr.wikipedia.org/wiki/%C3%96klid

[7] http://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach%27s_conjecture

[8] Stephen F. Barker – Matematik Felsefesi – Ankara : İmge, 2003

[9] Ernest Nagel – Gödel Kanıtlaması – İstanbul : Boğaziçi Üniversitesi, 2008

[10] Kurt Gödel – Principia Mathematica ve ilişkili dizgelerin biçimsel olarak Kararlaştırılamayan önermeleri üzerine(“Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, Monatshefte für Mathematik und Physic”) – İstanbul : Boğaziçi Üniversitesi Yayınevi, 2010

[11] Zekai Şen – Modern Mantık – İstanbul : Bilge Kültür Sanat, 2003

[12] Georg Wilhelm Friedrich Hegel – Mantık Bilimi – İstanbul : İdea, 2008

[13] Friedrich Engels – Anti-Duhring – Ankara : Sol Yayınları, Nisan 1995, 3. Baskı

[14] Alan Woods, Ted Grant – Aklın İsyanı .Marksist Felsefe ve Modern Bilim – İstanbul : Tarih Bilinci Yayınevi, 2004

[15] Hajime Sawamura – Computational Dialectics for Arguing Agents

[16] http://en.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert

[17] Roger Penrose – Bilgisayar ve Zeka (Kralın Yeni Usu I) – Ankara : TÜBİTAK, 2004, 12. Baskı

[18] Russell-Whitehead – Principia Mathematica-Cambridge [Eng.] ; New York : Cambridge The of Syndics of the Cambr., 1927, 2. Baskı

[19] Fatih GELGI – Gödel Teoreminin Yapay Zeka Üzerine Etkileri

İTÜ Bilgisayar Mühendisliği son sınıf Öğrencisi. İTÜ Felsefe Kulubü’nde herkes gibi başkan. Sanatsal olarak Dadaizm’e yakın.  [/box]