İlkokuldayken kalanlı bölme yapmayı bir türlü anlayamamıştım. Tahtaya kalktığımda dakikalarca uğraşırdım, ta ki öğretmenim beni yerime gönderene kadar… Mesela 16’yı 3’e böleceğim. Mümkün değil, daha neler, 16 nasıl olur da 3’e bölünür. Ya da 15’i 4’e böleceğim; olacak iş değil! Durumum o kadar da içler acısı değil, yapabildiklerim de var; 27’yi 9’a böleceğim örneğin. Ah, bu kolay, 3 defa var!
Çarpım tablosunu da çok zor öğrenmiştim. İki sayıyı çoğu zaman çarpamazdım. Ama (en azından 100’den küçük) bir sayıyı çarpanlarına ayırabilirdim.
Eminim bölme işlemi ilkokulda hepimize aynı, yanlış şekilde açıklanmıştır. 16’yı 3’e mi böleceksin, 16’nın içinde kaç tane 3 var ona bak. Hayatımda daha yanlış bir şey duymadım! 16’nın içinde 3 yok ki. Bu bölünebilmenin tanımı, 3 kaç defa 16’yı böler? Cevap: Hiç!
Kalanlı bölme yapmayı ortaokulda öğrendim. Nasıl yapılacağını öğrendim ama ne olduğunu anlamadım. İlkokul sıralarında duyduğum rahatsızlık hissi geçmeden bölme yaptım.
Beni neyin rahatsız ettiğini, farklı farklı insanların bana bölmeyi açıklarken neyi yanlış açıkladığını yıllar sonra, üniversite birinci sınıfta, Ali Nesin’in derslerinde anladım. Kalanlı bölmenin ne olduğunu ancak o zaman öğrendim.
Açıklamanın yanlışlığını anlamak için bölme ve bölünebilme kavramlarına yakından bakalım.
Bölünebilme
Herhangi iki a, b doğal sayıları için, eğer $latex an=b$ eşitliğini sağlayan bir n doğal sayısı varsa a, b‘yi böler (veya a böler b) denir; $latex a \mid b$ olarak yazılır.
Örnek.
- a = 4, b = 16 olsun.
n = 4 için, 4 · 4 = 16 olduğundan, 4, 16’yı böler. Hatta 4 defa böler. Bir başka deyişle 16’nın içinde 4 tane 4 vardır. - a = 28, b=9 olsun.
Bu durumda $latex 9\cdot n = 28$ eşitliğini sağlayan bir n doğal sayısı yok! Yani 9, 28’i bölmez. 28’in içinde hiç 9 yok denebilir ($latex 9\nmid 28$ olarak yazılır).
Örneklerden de açık ki, kalanlı bölme anlatılırken açıklanan şey aslında bölünebilme. Bariz şekilde farklı kavramlar.
Bölmeye geçmeden konudan birazcık sapayım ve rasyonel (kesirli) sayıların kurulumundan bahsedeyim.
Rasyonel sayıların kurulumu üzerine birkaç söz
“Doğal sayıları tanrı yarattı, gerisi insanların işi” [1]
Yukarıda bir doğal sayının her zaman diğerini bölemeyeceğini gördük. Mesela verdiğim örnekte 9, 28’i bölmüyor. Bunun sebebi 9 ile çarpıldığında 28 eden bir doğal sayının olmaması. Böyle bir doğal sayı yok ama böyle bir sayıya ihtiyaç var belli ki. İşte bu sayıları kuracağız. İşimiz bittiğinde aradığımız sayı $latex \frac{28}{9}$ olacak. Ama daha $latex \frac{28}{9}$’un ne olduğunu tanımlamadık. Bir süreliğine ufak bir hile yapıp, tanımlamış gibi yapalım.
Bu tam olarak $latex 9\cdot r = 28$ denkleminin çözümü, yani $latex 9\cdot\frac{28}{9} = 28$. Paydayı diğer tarafa geçirirsek $latex 9 \cdot 28 = 28\cdot 9$. Bir başka deyişle $latex \frac{28}{9}$’u $latex 9\cdot r = 28\cdot t$ denklemini çözen doğal sayı çifti gibi düşünebiliriz; (28, 9) olarak gösterelim. Dikkatinizi çekerim, r ve t için tek seçenek 28 ve 9 da değil. Örneğin r = 56 ve t = 18 de olur. Aslında bu denklemi çözen sonsuz tane r ve t sayısı var.
Demek ki $latex 9\cdot r = 28$ denklemini çözen doğal sayı yok ama $latex 9\cdot r = 28\cdot t$ denklemini çözen doğal sayı çifti var. Aradığımız $latex \frac{28}{9}$ sayısı işte bu doğal sayı çifti olacak, ama bu çiftlerin sayısı birden fazla. Oysa tabii ki (28,9) çiftiyle, (56,18) çiftinin aynı rasyonel sayıyı vermesini istiyoruz. Kurulumu bitirdiğmizde böyle olacak; (28,9) çifti (56,18) çiftine eşit olmasa bile aynı rasyonel sayıyı verecek.
İşleri biraz genelleştirelim. Sadece $latex \frac{28}{9}$’u değil de bütün rasyonel sayıarı kuralım. Negatif olanları da bulmak için sadece doğal sayılarla da değil de tam sayılarla çalışalım. Demek ki yanıtlamamız gereken soru tam olarak şu:
Problem. Herhangi m ve n tam sayıları için $latex m\cdot r = n\cdot t$ denklemini çözen bütün (r,t) tam sayı çiftlerini bulun.
Bu problemi iki adımda çözeceğim.
- m ve n aralarında asal olsun. Yani 1 ve -1 dışında (tamsayılar arasında) ortak bölenleri olmasın. Bu durumda (n,m) çifti bir çözüm ve diğer bütün çözümler, k bir tamsayı olmak şartıyla $latex (k\cdot n, k\cdot m)$ biçiminde.
- m ve n aralarında asal olmasınlar. Öyleyse en büyük ortak bölenleri 1 veya -1’den faklı; bu sayıya d diyelim. Şimdi $latex m = m^\prime\cdot d$ ve $latex n = n^\prime\cdot d$ şeklinde yazabiliriz. Artık $latex m^\prime$ ve $latex n^\prime$ aralarında asal. Dahası $latex m\cdot r = n\cdot t$ denklemini çözen çiftlerle $latex m^\prime\cdot r = n^\prime\cdot t$ denklemini çözen çiftler tamamen aynı. Öyleyse problemi $latex m^\prime$ ve $latex n^\prime$ için çözmek yeterli. Ama birinci adımdan problemi bu durumda nasıl çözeceğimizi biliyoruz.
Dolayısıyla artık m ve n‘nin aralarında asal olduğunu kabul edebiliriz. Şimdi iş (28,9) ve (56,18) gibi çiftlerin aynı rasyonel sayıyı vermesini sağlamaya geldi. Bunun için herhangi iki m ve n tamsayısı için şu kümeyi tanımlayalım.
$latex [n,m] = \{(k\cdot n, k\cdot m) : k\in\mathbb Z\}$
Bu kümenin elemanlarının $latex m\cdot r = n\cdot t$ denklemini bütün çözümleri olduğunu gösterdim. Yani ” $latex \frac{n}{m}$ ” ve tamsayı katları. Kümeler kuramında $latex \frac{n}{m}$ kesirli sayısı $latex [n,m]$ kümesi olarak tanımlanır, ve böylece farklı çiftlerin, eşit olmasalar bile, aynı rasyonel sayıyı vermeleri sağlanır. Bu durumda rasyonel sayılar kümesi
$latex \mathbb Q = \lbrace [n,m] : n,m\in\mathbb Z$ ve $latex n,m$ aralarında asal $latex \rbrace$
olarak tanımlanır.
Durumu biraz daha geometrik olarak düşünmek isteyen okur için, rasyonel sayılar aslında $latex \mathbb Z \times \mathbb Z$ düzleminde (0,0) noktasından geçen doğrulardan başkası değil; $latex \mathbb Q$’da bu doğruların kümesi!
Tamsayılardaki toplama, çıkarma, çarpma işlemleri yukarıda tanımladığımız $latex \mathbb Q$ rasyonel sayılar kümesine genişletilebilir. Nasıl yapılacağı, ana konusu $latex \mathbb Q$’nun kurulumu olan bir yazının konusu; bu yüzden bu yazıda sadece yapılabilir deyip geçelim (kurulumun detayları, işlemlerin nasıl genişletildiği ve daha fazlası için bkz [5]).
Bu uzun sapmadan sonra asıl konumuza geri dönelim ve kalanlı bölmenin ne olduğuna bakalım.
Kalanlı Bölme
Kalanlı bölme olarak açıklananın aslında bölünebilme kavramı olduğundan, en iyi ihtimalle rasyonel sayılara dair bir sezgi verdiğinden bahsettim. Şimdi kalanlı bölmenin doğru açıklamasından bahsedeyim.
Yine aynı örnek üzerinde gideyim; 16’yı 3’e bölmek istiyoruz diyelim. Yapmak istediğimiz aslında tam olarak 16’nın içinde kaç tane 3 olduğunu bulmak değil. Aslında yapmak istediğimiz 16’dan en fazla kaç defa 3 çıkarabileceğimizi bulmak. Olabildiğince fazla 3 çıkarıp 0’a ulaşamayacağımızı biliyoruz; çünkü en başta 3’ün 16’yı bölmediğini gördük. Demek ki 16’dan azami sayıda 3 çıkardığımızda elimizde 3’den küçük bir sayı kalacak. Bu sayıya bölme işleminden kalan denir. Kalanın 3’den küçük olmak zorunda olduğuna dikkatinizi çekerim, eğer değilse 16’dan azami sayıda 3 çıkarmamışız demektir.
Daha derli toplu bir şekilde yeniden anlatayım. 16’yı 3’e bölmek için yapmak istediğimiz şey aslında $latex 3\cdot n+m=16$ şartını ve $latex m < 3$ şartını sağlayan doğal sayılar bulmak.
O halde bir b doğal sayısını bir başka a doğal sayısına bölmek için çözmemiz gereken problem şöyle.
Problem. Herhangi $latex a < b$, $latex b\neq 0$ doğal sayıları için öyle $latex n,m$ doğal sayıları bulun ki, $latex m < a$ ve $latex a\cdot n + m = b$ olsun.
Tecrübelerimizden bu problemi nasıl çözeceğimizi biliyoruz. Bunca yıldır bir sayıyı diğerine böldük, problem çıkmadı. Ama şimdiye kadar yaptığım açıklamalardan bu problemin her zaman çözülebileceği hiç de açık değil. Bu problemin çözümü matematikte bölme algoritması olarak bilinir.
Teorem 1 (Bölme algoritması). Herhangi $latex a < b$, $latex b \neq 0$ doğal sayıları için öyle $latex n,m$ doğal sayıları vardır ki, $latex m < a$ ve $latex a\cdot n + m = b$. Dahası bu $latex n,m$ doğal sayıları tektir.
Teoremin kanıtı n ve m sayılarını bulmak için genel bir yöntem vermesi açısından önemlidir.
Kanıt. (Varlık) Öncelikle $latex n_1=0$ ve $latex m_1=b$ değerleriyle başlayalım. Bu durumda $latex b = a\cdot n_1 + m_1 = a\cdot 0 + b$. Ama $latex a <b$ olduğundan dolayı $latex m_1\not < a$. Öyleyse aradığımız sayıları henüz bulamadık. Devam edelim; $latex n_2=n_1+1$ ve $latex m_2=m_1 – a$ olsun. Şimdi $latex b = a\cdot n_2 + m_2 = a\cdot 1 + (b-a)$ eşitliğini elde ettik. Eğer $latex m_2 < a$ ise aradığımızı sayıları bulduk demektir, $latex n=n_2$ ve $latex m=m_2$ alalım. Eğer $latex m_2\not < a$ ise bu şekilde devam edelim ve $latex n_3=n_2+1$ ve $latex m_3 = m_2 – a$ sayılarını tanımlayalım. Yeniden $latex b= a\cdot n_3 + m_3 = a\cdot 2 + (b-2a)$ eşitliğinde $latex m_3 < a$ şartının sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim. Sağlanıyorsa burada duracağız, sağlanmıyorsa aynı şekilde devam edelim. Bu şekilde devam ederek sonsuz sayıda $latex n_i, m_i$ sayıları üretemeyiz! Bu prosedür bir noktada durmalı (neden? İpucu: doğal sayılarda çalıştığımızı hatırlayın!). Öyleyse bu prosedürün son adımında bulduğumuz sayılar aradığımız $latex n$ ve $latex m$ sayıları.
(Teklik) Diyelim yukarıda bulduğumuz $latex n$ ve $latex m$ tek olmasın. Bu eşitliği sağlayan başka $latex n^\prime$ ve $latex m^\prime$ doğal sayıları olsun; yani
$latex b = a\cdot n + m = a \cdot n^\prime + m^\prime$
$latex 0\leq m<a$ ve $latex 0\leq m^\prime < a$ şartını da aklımızdan çıkarmayalım. Birinci eşitsizliği -1 ile çarpıp $latex -a < m \leq 0$ eşitsizliğini elde edelim. Öteki taraftan, $latex a\cdot n + m = a \cdot n^\prime + m^\prime$ eşitliğinden dolayı $latex m^\prime – m = a(n-n^\prime)$.
Şimdi $latex 0\leq m^\prime < a$ ve $latex -a < m \leq 0$ eşitsizliklerini taraf tarafa toplarsak $latex -b < m^\prime – m <b$ eşitsizliğini elde ederiz. Dolayısıyla, $latex a(n-n^\prime) < b$. Bu durumda $latex 0\leq (n-n^\prime) <1$, ama $latex (n-n^\prime)$ bir doğal sayı olduğundan $latex (n-n^\prime) = 0$. Demek ki $latex n = n^\prime$.
Son olarak $latex m^\prime – m = a(n-n^\prime)$ eşitliğine geri dönersek $latex m^\prime = m$ olması gerektiği açık.
Kanıtın varlık kısmında sezgisel olarak tarif ettiğim algoritma sürekli çıkarma prensibiyle çalışıyor! Yani b‘yi a‘ya bölmek için b‘den çıkarabildiği kadar a sayısını çıkarıyor, en sonunda a çıkarılamayacak kadar küçük bir sayı kaldığında duruyor (bölme işleminin kalanı). İlkokuldan beri yapılan “b‘nin içinde kaç tane a olduğuna bak” açıklaması aslında bunu anlatmak için! Doğru açıklama b’nin içinde kaç tane a var değil, b‘den en fazla kaç defa a çıkarabilirsin, ve azami sayıda a çıkardığında geriye ne kalır!
Bu yazıyı okuduktan sonra bildiğiniz gibi bölme yapmaya devam etseniz problem çıkmaz. Hatta bildiğiniz gibi yapmaya devam edin, profesyonel matematikçiler dahil herkes öyle bölme yapıyor! Yazının amacı açıklamanın yanlışlığını göstermekti.
Kaynaklar
[1] Leopold Kronecker, Philosophies of Mathematics, sayfa 13, Alexander George, Daniel J. Velleman, 2002 (çeviri bana ait).[2] Borovik, A. Shadows of the Truth, Amer. Math. Soc. publications, basıma hazırlanıyor.
[3] Burton, D. M. Elementary Number Theory, 5th. Ed., McGraw-Hill, 2002.
[4] Mollin, R, Fundamental Number Theory with Applications, 2nd. Ed.,Chapman & Hall /CRC, 2008.
[5] Nesin, A., Sayıların İnşaası, Ders Notu, Türkiye Bilimler Akademisi, 2010. http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=24, erişim tarihi: 24/07/2013
Çok teşekkür ederim ! Bir farkındalık sayende :)