ÜÇ AŞAĞI BEŞ YUKARI: FERMİ TAHMİN SANATI

Dünyanın ilk atom bombası 16 Temmuz 1945 sabahı şafak sökmeden hemen önce, ABD’de bir çölün ortasında patlatıldı. Sabahın alacakaranlığını birdenbire aydınlatan korkunç patlamanın ürettiği olağanüstü enerji ile aniden ısınan hava, dışarıdaki soğuk havada hızla ilerleyen bir şok dalgası oluşturmuştu. Denemeyi izleyen asker ve bilimci grubunun içindeki ünlü fizikçi Enrico Fermi, avucunda tuttuğu kağıt kırpıntılarıyla şok rüzgârının gözlem yerine ulaşmasını bekliyordu.

Patlamadan yaklaşık 40 saniye sonra hava darbesi bana ulaştı. Şok dalgasının geçmesinden önce, geçişi sırasında, ve sonrasında yaklaşık 180 cm yüksekten küçük kâğıt parçaları bırakarak dalganın şiddetini tahmin etmeye çalıştım. O sırada rüzgâr olmadığı için şok dalgasının geçişi sırasında kâğıt parçalarının düşene kadar ne kadar ilerlediklerini açıkça gözleyip ölçebildim. Yaklaşık 2 ½ metre kadar ilerlediler ve bu bilgiyle şok dalgasını üreten patlamanın on bin ton TNT gücünde olması gerektiğini tahmin ettim.

Fermi bu tahmine ulaşmak için önceden kaba bir hesap yapmış ve bir sayı tablosu hazırlamıştı, böylelikle bu basit deneyle bombanın ürettiği enerjinin ne kadar olduğunu hemen söyleyebilmişti. Patlamadan sonra çevreden alınan numunelerin ayrıntılı analizi sonucunda bombanın 18,6 bin ton TNT gücünde olduğu ortaya çıktı.

Fermi, fiziki bilimcilerin “mertebe hesabı” dediği yöntemin ustalarındandı. Mertebe hesabının amacı virgülden sonra bilmemkaç basamak doğrulukta sonuçlar üretmek değil, belli bir sayının “üç aşağı beş yukarı” ne büyüklükte olacağını hızlı bir şekilde tahmin edebilmektir. Bu tür akıl yürütmede meselâ 1 ve 3 aynı mertebededir, fakat 1 ve 10 arasında mertebe farkı vardır. Atom bombası örneğinde Fermi’nin basit hesabı ve kaba ölçümleri, doğru cevaba mertebe olarak yakın (iki çarpanı içinde) olduğu için başarılıdır.

Mertebe hesabı matematiksel kesinliği olmayan, biraz keyfi bir yöntem olsa da, araştırmaya başlarken bir yol gösterici olarak çok yararlıdır: Bir araştırma probleminde beklenen sayıların hangi ölçekte olduğunu kestirmemizi sağlar; böylece deney araçlarını nasıl ayarlayacağımıza, simülasyonlarda parametrelerin ne civarda olacağına, analizde hangi matematiksel yöntemleri kullanmamız gerektiğine karar verebiliriz.

Hızlı mertebe hesabı yapma yeteneği en çok, değişik alanlardaki temel bilgileri bir araya getirebilen çok tecrübeli araştırmacılarda bulunur. Sadece azıcık abartarak diyebiliriz ki, yaşlı profesörler kahve içerken bir parça kağıda mertebe hesabı yaparlar, sonra o kâğıdı bir doktora öğrencisine verirler, o da ondan bir tez çıkarır.

Chicago’da kaç piyano akortçusu var?

Fermi, tahmini hesap yeteneğini fizik dışı problemlere de uygulamayı severdi. Chicago Üniversitesi’ndeki derslerinde, makul tahminlerde bulunma sanatını beylik bir örnekle öğretirdi: Chicago’da kaç piyano akortçusu vardır?

Elbette bunu bilmek zor; hesaplanabilecek birşey değil. Ama bir dizi makul varsayımla, üç aşağı beş yukarı doğru bir tahminde bulunabiliriz.

Chicago’da beş milyon kişi yaşadığını varsayalım. Her ailede ortalama dörder kişi olsa, 1 250 000 aile vardır. On aileden birinin evinde piyano var desek, 125 000 piyanomuz olur, ve bunların her yıl akort edilmesi gerekir.

Bir piyano akortçusu yılda 50 hafta, haftada 5 gün çalışıyor olsun. Yolda geçirdiği zamanı da hesaba katarak günde 4 piyano akort edebildiğini varsayalım. O zaman bir akortçu bir yılda 50×5×4 = 1000 piyano akort eder. Demek ki talebe yetişebilmek için Chicago’da 125 akortçu olması gerekir.

Bu sonuç kesin değil elbet; elli de olabilir, iki yüz de. Ama meselâ ondan fazla, beş yüzden az olacağı kesin. Tamamen yararsız bir sonuç değil; sözgelişi, akortçular için malzeme satan bir dükkan açacaksanız, dükkânın kendini döndürüp döndüremeyeceğini basitçe tahmin edebilirsiniz.

Piyano akortçusu sayısı gibi sorular Fermi problemleri diye bilinir. Tek bir doğru çözümleri yoktur, cevapları belirsizdir. Zincirleme varsayımlar yapılır, bu varsayımlardaki hataların birbirini götürdüğü umulur. Uzmanlık bilgisinden çok, temel bilgileri yaratıcılıkla birleştirmek gereklidir. Bu yüzden işe alma mülakatları yapanlar bu tür soruları severler.

İşte size uzmanlık bilgisi gerektirmeyen Fermi problemlerinden bir seçme.

Zırhlı banka araçları ne kadar para taşır?

Bu belirsiz sorunun tek bir cevabı yok elbet. Aracın ne kadar dolu olduğuna, para balyalarının ne kadar sıkı paketlendiğine, banknotların değerine bağlı olarak değişir. Ama diyelim ki para nakil araçlarını sigortalayan bir şirkette çalışıyoruz, ve primi belirlemek için tahmini bir değer bulmamız gerekiyor.

Bunun bir yolu aracın iç hacmini kestirmek, taşınan paranın hacmini kestirmek, toplam para hacmini bir banknotun hacmine bölerek kaç banknot taşıdığını bulmak, ve bu sayıyı “tipik” bir banknot değeri ile çarpmak.

Aracın para taşınan kısmının hacmini tam olarak belirlemek zahmetli, ve zaten gereksiz. Diğer varsayımlarımızın hataları da büyük olacak zaten. Amacımız hızlı bir şekilde, doğru mertebede bir cevap elde etmek.

Aracın içine paranın yanı sıra bir veya iki güvenlik görevlisi de gireceğine göre, boyutları bir metreden fazla olmalı. Öte yandan otobüs kadar büyük olmayacak, yani boyutları on metreye çıkmıyor. Yaklaşık olarak 2m × 2m × 2m boyutlarında olduğunu varsayabiliriz, o zaman iç hacim 8 m³ olur.

Paralar genellikle bu hacmin tamamını kaplamayacaktır. Meselâ sekizde birini kaplıyor olsun (iç hacmi boydan, enden ve derinlikten ikiye bölün, paralar parçalardan birini doldurur); yani taşınan paranın hacmi 1 m³ = 10⁶ cm³.

10⁶ cm³ hacme kaç banknot sığacağını bulmak için bir banknotun hacmini kestirelim. Banknotlar yaklaşık 16 cm boyunda ve 6 cm enindedir. Ya kalınlıkları?

Yanımdaki yazıcıya koyduğum bir top kâğıtta 500 yaprak var, ve yüksekliği yaklaşık 5 cm. O zaman bir yaprak kâğıdın kalınlığı 0,01 cm olur, banknot da yaklaşık olarak aynı kalınlıktadır. Böylece bir banknotun hacmi 15 cm × 6 cm × 0,01 cm ~ 1 cm³ olacaktır.

Burada 0,9 değerini 1’e yuvarladım. Mertebe hesabında küsuratla yorulmaya lüzum yok.

Böylece 10⁶ cm³ / 1cm³, yani bir milyon banknot taşındığını kestirebiliriz. Peki bu kaç para ediyor? Banknotların ortalama değerini kestirmeliyiz.

Banka nakil aracının 5 TL’lerle dolu olduğunu düşünmek pek makul değil, bankaların daha büyük kupürlere ihtiyacı olur. Tamamen 200 TL’lerle dolu olması da akla yakın gelmiyor. İşlemler için her türlü kupürden bulunması lâzım. Üstelik 20 TL ve 50 TL’lik banknotlar, 100 TL ve 200 TL’liklerden daha çok kullanılır. Tipik bir banknotun 20 TL olduğunu varsayarsak, araçta 20 milyon TL taşındığını tahmin ediyoruz. Büyük para!

Tahminimizin doğruluğunu nasıl kontrol ederiz? Meselâ Türkiye’de 2011 yılında gerçekleşen bir zırhlı araç soygununda çoğu Avro ve ABD doları olmak üzere iki milyon TL‘lik para çalınmış. Yirmi milyondan çok az. Tahminimiz aşırıya mı kaçtı acaba?

Habere göre soygunu yapan kişi yaya olarak kaçmış, yani parayı üstünde taşımış. 1 m³ hacminde paranın ağırlığı ne kadardır? Elde taşınabilir mi?

Kütleyi bulmak için hacmi yoğunlukla çarparız. Paranın yoğunluğu yaklaşık suyun yoğunluğu kadardır, yani 1000 kg/m³. (Nereden biliyoruz? Kağıt kuruyken suda yüzer, ıslanınca yavaşça batar.) Yani 1m³ paranın kütlesi yaklaşık bir tondur. Bir insan bu ağırlığı bırakın sırtlanıp götürmeyi, kaldıramaz bile.

O zaman ya araç tam dolu değildi, ya da hırsız sadece taşıyabileceği kadarını aldı. Çalınan paranın en fazla 50 kg olduğunu düşünelim (araçta tahmin ettiğimiz miktarın yirmide biri). Dahası paraların çoğu döviz ve muhtemelen büyük kupürler, yani yükte hafif pahada ağır. TL olsalardı değerleri iki milyon değil de, belki bir milyon olurdu. Yirmiyle çarparsak, ilk tahminimiz olan yirmi milyon TL’ye ulaşırız.

Bir kilo üzümde kaç üzüm tanesi vardır?

Bunda da yoğunluktan gidebiliriz: Organik maddelerin çoğu sudur. Diğer organik malzemenin de yoğunluğu suya yakın değerdedir. O zaman üzümün yoğunluğunun 1 g/cm³ olduğunu varsayabiliriz.

Bir üzüm tanesinin 2cm çapında bir küre olduğunu varsayalım. Hacim formülünde (4 π r³ / 3)  π’yi 3 alıp, yarıçap r = 1 cm aldığımızda, bir üzüm tanesinin hacmini 4 cm³ olarak buluruz.

Hacim formülünü hatırlamıyorsanız, kürenin hacminin, içine tam oturduğu küpün hacminin yaklaşık yarısı olduğu bilgisini kullanabilirsiniz.

Yoğunluk 1 g/cm³ olduğundan, üzüm tanesinin kütlesi 4 gram olur. Böylece bir kg üzümde yaklaşık 1000g/4g = 250 üzüm tanesi olduğu sonucuna varırız.

Bu sonuç makul mü? Diyet listelerinde 90 gramlık bir porsiyon üzüm 15 iri tane olarak açıklanır, yani tanesi 6 gram. Hesabımız doğru mertebede.

Kitapları rafa yerleştirmek

Büyük bir depremde bir üniversite kütüphanesindeki iki milyon cilt kitap raflardan düştü. Bütün kitapları üç haftada yerine yerleştirebilmek için kaç öğrencinin çalışması gerekli?

Öğrenciler kitapları öylesine kaldırıp koymayacaklar; kataloglama sistemine göre doğru sırada koymaları gerekiyor. O yüzden her kitap için biraz zaman harcayacaklar. Öte yandan, kitapların düştüğü yer bulunmaları gereken raftan çok uzakta değil, o yüzden dolaşmakla zaman kaybetmeyecekler. Bir öğrencinin bir kitabı yerine koymasının birkaç saniye ile bir dakika arasında vakit alacağını kestirebiliriz. O zaman, bir öğrenci bir saatte 60 ilâ 600 kitabı rafa yerleştirebilir demektir.

Bir öğrencinin yaklaşık olarak saatte 200 kitap yerleştirdiğini varsayalım. Bu sayı 60’ın üç katı, 600’ün üçte biri (tahmin sanatında püf noktası iki sınır durumun geometrik ortalamasını almaktır). Günde sekiz saat, haftada beş gün çalışan bir öğrenci üç haftada 3 × 5 × 8 × 200 = 24 000 kitap yerleştirir. Yuvarlak hesap 20 000 diyelim.

İki milyon kitabı üç haftada yerine yerleştirebilmek için 2 000 000 / 20 000 = 100 kişinin çalışması gerekir.

Yaklaşımımızın doğru olup olmadığını nasıl anlarız? Benzer bir durum daha küçük ölçekte 23 Ağustos 2011 günü ABD’de yaşandı. Güçlü bir deprem sonucu, Maryland Üniversitesi kütüphanelerinden birinde 27 000 kitap raflardan düştü . Kütüphaneciler bir gün içinde kitapları yerden toplayıp, zarar görüp görmediklerini kontrol etmek üzere arabalara yerleştirdiler. Bu durumda kitapların uygun sırayla yerleştirilmesi gerekmediği için her kitabın birkaç saniyede kaldırıldığını varsayabiliriz. O zaman bir kişi bir saatte 600 kitap, sekiz saatte 5 000 kitap kaldırabilir. Yoğun çalışan beş altı kişi, veya dinlenerek çalışan on kişi 27 000 kitabı bir iş günü içinde toplayabilir. Bir kütüphanede bu sayıda çalışan bulunması da normaldir.

Bir insandan ne kadar enerji yayılır?

Vücudumuzdan sürekli olarak ısı yayarız. Bu ısı çıktısı, bildiğimiz diğer ısı kaynaklarına göre az mıdır çok mudur? Bir cismin (motor, ampul, ısıtıcı, insan) bir saniyede ürettiği (veya tükettiği) enerji Watt ile ölçülür. Bir cihaz olsaydık, paketimizin üzerine kaç Watt yazarlardı?

Tabii gün içinde sürekli hareket eden, bir şeyler taşıyan insanlar daha fazla enerji kullanacaklardır. Ancak, fazla hareket etmeden sakince otursak bile vücudumuz hayati işlemler için bol miktarda enerji kullanır. Bazal metabolizma denen bu enerji kullanma oranı kişiden kişiye değişir, ama yaklaşık bir değer olarak 2000 kalori varsayabiliriz. Diyetisyene gidenler bu sayıya aşina olabilirler.

Gündelik dilde “kalori” denen birim aslında fizikteki kilokaloridir. Yani günlük enerji girdimiz 2 milyon kalori. Bu enerji eninde sonunda ısı olarak dışarı çıkacaktır, böylece ısı çıktımız da günde 2 milyon kalori demektir. Bu az mı çok mu? Başka ısı kaynaklarıyla karşılaştırabilmek için Watt birimine çevirmeliyiz, yani saniyede kaç Joule harcadığımızı belirlemeliyiz.

Bir kalori yaklaşık 4 Joule enerjiye eşittir. Yani toplam enerji çıktımız 8 milyon Joule. Bunu bir gündeki saniye sayısı olan 24×60×60 = 86 400’e bölmeliyiz. Hesap makinesi aramanıza gerek yok, yaklaşık bir hesap yeterli:

8 000 000 / 86 400 ~ 8 000 000 / 80 000 = 100 Joule/saniye = 100 Watt

Yani vücudumuz parlak bir akkor ampul kadar enerji yayıyor. Bir odada oturan onbeş kişi, odayı 1500 Watt’lık bir elektrikli soba kadar ısıtabilir.

Vücudumuzda kaç hücre var?

Vücudumuzun hacmini tahmin etmekle işe başlayalım. Bunu iki şekilde yapabiliriz. Tatlı su dolu bir havuza girdiğimizde vücudumuz hafifçe batar, ama taş gibi batmaz, kolaylıkla suyun yüzünde durabiliriz. Buradan da vücudumuzun yoğunluğunun suya yakın olduğunu, yani 1 g/cm³ olduğunu çıkarabiliriz.

Yoğunluk, kütlenin hacme bölümüne eşit olduğundan, yuvarlak hesap 100 kg’lik bir kütlenin hacmi 100 000g/ (1 g/cm³) = 10⁵ cm³ olur. Yani 0.1 m³.

Başka bir yöntem olarak üç boyuttaki ortalama uzunluklarımızla vücudumuzu bir dikdörtgen prizması olarak görebiliriz. Ortalama boy 170cm, ortalama genişlik 30 cm (kafa, boyun, karın ve bacakların ortalamasını alıyoruz), ortalama derinlik ise 20 cm diyelim. Böylece 170 × 30 × 20 = 102000 cm³ ~ 10⁵ cm³, tekrar aynı sonucu elde ederiz.

Şimdi bir hücrenin büyüklüğünü, oradan da hacmini tahmin edelim.

Gözlerimiz milimetrenin onda biri büyüklükte noktaları seçebilir. Hücreleri göremediğimize göre 0.1mm’den daha küçük olmalılar. Buna karşılık, fazla gelişkin olmayan ilk mikroskoplarla hücreleri görmek mümkün oldu, demek ki çok da küçük değiller. İlk mikroskopların 10 kat ilâ 100 kat büyütme sağladıklarını düşünürsek, hücreler 0.01 mm ilâ 0.001 mm büyüklükte olmalı. Büyük sınırı alalım ve hücrenin 0.01 mm = 10^-3 cm olduğunu varsayalım.

O zaman bir hücrenin hacmi yaklaşık 10^-3 × 10 ^-3 × 10^-3 = 10^-9 cm³ olur. Hücre küre biçimindeyse bu değerin yarısını alırız, ama mertebe hesabında 2 gibi çarpanları hesaba katmıyoruz.

O zaman hücrelerimizin toplam sayısını yaklaşık 10⁵ cm³ / 10^-9 cm³ = 10¹⁴ olarak buluruz. Her birimizin yüz trilyon mertebesinde hücresi var. Ufak tefek bir kadınsanız belki elli trilyondur, iki metrelik kaslı bir basketbol oyuncusuysanız belki 150 trilyon.

Hücreleri küp değil küre biçimli varsaysaydık yüz değil ikiyüz trilyon bulurduk. Her halükârda büyük bir sayı.

Astronomlar Samanyolu galaksisinde 200 ilâ 400 milyar yıldız bulunduğunu tahmin ediyorlar. Yani, bir bebeğin vücudunda bile yüzlerce galaksideki yıldız sayısı kadar hücre yaşıyor.

Dünyanın kütlesi ne kadar?

Dünyanın kütlesini tam olarak belirlemek için etraflı jeoloji ve astronomi gözlemlerinden elde edilen verileri kullanmak gerekli, ama “üç aşağı beş yukarı” taktiğiyle bir tahminde bulunabiliriz.

Dünyanın kütlesini belirlemek için, Dünyanın ortalama yoğunluğu ile hacmini çarpalım.

Suyun yoğunluğu 1 g/cm³, yani 1 cm³ hacimdeki suyun kütlesi 1 gramdır. Her türlü kaya suda batar, yani aradığımız yoğunluk değeri suyunkinden yüksek olmalı. Ne kadar yüksek? Bir sonraki mertebede 10 g/cm³ değeri var. Bu yoğunluğa sahip bir su bardağı (200 cm³) büyüklüğünde bir taşın kütlesi 2 kg olur. Gündelik tecrübemizden bu hacme göre bu kütlenin çok fazla olduğunu biliyoruz. Bu iki mertebe arasında bir değer alalım ve Çok fazla. Bunun yarısını alalım, Dünyanın ortalama yoğunluğunu 5 g/cm³ = 5000 kg/m³ olarak varsayalım.

Eskiden pazarcıların askılı terazide demirden ağırlıklar kullandıklarını hatırlarsınız. Bir kiloluk ağırlık, yaklaşık bir su bardağı büyüklüğündeydi, ki bu da tahminimizi doğruluyor.

Dünya’nın hacmini 4 × R³ formülünden bulalım (π ve 3 birbirini götürdü). Dünyanın yarıçapı R’nin değerini bulmalıyız. Dünya’nın çevresini tahmin edebilirsek, bu değeri 6’ya (yaklaşık 2π) bölüp yarıçapı bulabiliriz.

Okuldaki derslerden Ekvator çevresinin yaklaşık 40 000 km olduğunu hatırlıyorsanız mesele yok. Hatırlamıyorsanız, Türkiye’nin doğu-batı uçları arasının yaklaşık 1500 km olduğunu hatırlıyor olabilirsiniz. Peki bu mesafe Dünya’nın kaçta kaçıdır?

Ramazanda iftar vaktini beklerken, doğu illeri ile batı illeri arasındaki farkın bir saati bulduğunu görmüşsünüzdür. Yani Dünya’nın dönüşü sonucu batı bölgesinin gölgeye girmesi doğudan bir saat sonra gerçekleşiyor. Bir saatlik fark 1500 km ise, 24 saatlik fark 24 × 1500 = 36 000 km olur. Yarıçap da 36 000 / 6 = 6 000 km = 6 × 10⁶ m olarak bulunur.

Böylece hacmi 4 × 6³ × 10¹⁸ ~ 8 × 10²⁰ m³ olarak buluruz. Yoğunlukla çarparsak Dünya’nın kütlesini 5000 × 8 × 10²⁰ ~ 4 × 10²⁴ kg olarak tahmin ederiz.

Kaynaklardan doğru değerin 5,97 × 10²⁴ kg olduğunu öğreniyoruz, tahminimize çok yakın. Bu kadar fazla varsayım içeren bir hesaba göre fena bir sonuç değil.

Meraklısına sorular

1. Şu anda oturduğunuz odaya kaç tane pinpon topu sığar?
2. Bütün ülkede günde kaç bebek bezi kullanılıyor?
3. Bütün İstanbul’da kaç sokak kedisi yaşıyor?
4. Bir havlunun, liflerini de hesaba katarsak, toplam yüzey alanı ne kadardır? Evinizin yüzölçümü ile karşılaştırın.
5. Diyelim ideal kilonuza göre 20 kg fazlanız var. Bu fazla yağla, kaç litre suyu oda sıcaklığından kaynama sıcaklığına kadar ısıtabilirsiniz? (Bir gram yağda 37 000 Joule enerji vardır)
6. Bir otomobil kullanıldığı süre boyunca (hurdaya çıkana kadar) kaç litre benzin yakar? Bu hacmi bir yüzme havuzuyla karşılaştırın.
7. Bir insanın başındaki saçların toplam uzunluğu ne kadardır?
8. Bir futbol sahasında kaç yaprak çim vardır?
9. 30 ışıkyılı uzaktaki bir yıldız süpernova haline gelip patladı, ve kütlesinin tamamını her yöne doğru düzenli olarak saçtı. Bu yıldızdan Dünya’ya ulaşan malzemenin ağırlığı ne kadardır?
10. Ülke çapında işe gidiş-gelişlerde bir günde toplam kaç kilometre yol katediliyor? Bir günde kaç litre yakıt harcanıyor?

Kaynaklar

1. Lawrence Weinstein ve John A. Adam, Guesstimation. Princeton University Press, 2008.
2. Peter Goldreich, Sanjoy Mahajan, Sterl Phinney. Order-of-Magnitude Physics: Understanding the World with Dimensional Analysis, Educated Guesswork, and White Lies.
3. Maryland Üniversitesi Fermi Problemleri sitesi
4. Richard Rhodes, The Making of the Atomic Bomb. Touchstone, 1986.