Başlıktaki sorunun kaynaklandığı deyimden yola çıkarak yanıtını belki de hepimiz biliyoruz ama biz sevgililer gününü geride bıraktığımız için gerçeği söyleyeceğiz: Hiçbir yerde.
İnsan olmanın en cilveli ve kimi zaman da belalı yanı sahip olduğumuz bazı irrasyonel davranışlardır. İrrasyonel davranışlar, duygularımızın ya da yanlış düşüncelerimizin esareti altında verdiğimiz mantıksız ve anlamsız kararlar, vardığımız gereksiz ya da çoğu zaman yanlış kararlardır. Bu davranışların bir kısmının kaynağında “ümit” olgusunun etkisi büyük ölçüde hissedilir.
Dilimizde “umut” ya da “ümit” olarak adlandırdığımız beklentiler, kimi zaman yaşamamızın amacı olabildiği gibi kimi zaman büyük felaketlerin sebepleri de olabilirler. Bir çok insan her devirde boş umutlardan o kadar çok çekmiş olmalı ki, “umut” mitolojik kaynaklarda kendine insanlığın cezası olarak yer bulmuştur.
Yunan mitolojisine göre Pandora, (Anlamı: “tanrıların armağanı”) adlı bir kadın Zeus tarafından insanlığı cezalandırmak için görevlendirilir ve Zeus bu balçıktan yapılmış, güzel ve zeki Pandora’yı Epimetheus’a gönderir. Epimetheus, kardeşi Prometheus’un tüm uyarılarına rağmen Pandora ile evlenir ve Zeus da yeni evlilere düğün hediyesi olarak daha sonra “Pandora’nın Kutusu” olarak anılacak olan bir çömlek verir. Zeus bir de ön şart koyar: Bu çömlek ne olursa olsun açılmayacaktır. Ancak Pandora, merakına yenik düşer ve bir gün bu çömleği açar, çömlek içindeki kötülükler Dünya’ya yayılırlar. Pandora hemen çömleği geri kapatır.
Burada efsane bir kaç yola sapıyor. Anlatılan bir hikayede Pandora’nın kötülüklerin tamamının yayılmaması için bir “ümit”le kutuyu geri kapattığı anlatılır ancak tam bu sırada Pandora kutunun içinden birinin kendisini kurtarması için seslendiğini duyar. Çömleği tekrar açınca görür ki kutunun içinde bir kelebek vardır. İşte bu kelebek, Pandora’nın kötülüklerin yayılmamasına dair ümididir. Diğer hikaye ise daha çarpıcı: Pandora’nın Kutusu’ndan çıkan son kötülük “ümit”tir.
Ya çıkarsa?
Ümidin olumlu yanlarını bir kenara bırakalım… Evet, ümit çoğu zaman zor bir işi başarabilmemiz için gereken inanç, kimi zamansa hayata tutunmak için bir sebep, ve hatta bazen mucizeleri başarabilmek için gerekli güdü ve motivasyonun kaynağıdır.
Ancak ümidi irrasyonel bir takım davranışların kaynağı olarak ele alacak olursak, ümidin herhangi bir olayın gerçekleşme olasılığıyla ilgili bariz matematiksel ya da istatistiksel gerçekleri göz ardı etmemize sebep olan mantıksız bir güdü olarak da tanımlayabiliriz.
Zira ümit, piyango biletlerinin sloganında bile vücut bulur: “Ya çıkarsa?”
Haydi itiraf edelim. Bir çoğumuz şans oyunları ve piyango çekilişlerinde büyük ikramiyenin bize çıkacağına bir an için inanıp, çıkması halinde neler yapacağımızı oturup ciddi ciddi düşünmüşüzdür. Hatta kimi ailelerin içinde ya da arkadaş grupları arasında bu bir sohbet konusudur. İnsanlar uzak hayallerini piyango ümidi atına bindirerek dört nala ileriye sürerler.
Garip bir şekilde, imkansıza oldukça yakın bir matematiksel olasılığa rağmen kazanacağımıza dair ümit içimizde ateşleniverir. Sonuçları kontrol ederken neredeyse hayal kırıklığına uğrayacak kadar hatta…
Burada neredeyse bütün irrasyonel davranış ve inançların temel türü olan “bulunabilirlik” hatası devreye girer. Piyango oynayıp ikramiye isabet etmeyen milyonlarca bilet yerine, isabetli bir kaç bileti, kazanamayan yüzbinler yerine kazanan bir kaç kişiyi düşünür ve ümitleniriz. Oysa o işimize gelmeyen grup çok daha kalabalıktır ve kuvvetle muhtemel kendimizi o grupta bulacağızdır. Ama onlar kimliksiz, isimsiz, sıradandırlar. Oysa kazananlar daha dramatik, daha “bulunabilir” haldedirler. Gazetelerde haber olurlar, dedikodularda bahsedilirler, bir anda zenginlerler, alem yaparlar, araba değiştirirler vb. Garip bir şekilde devlet de yasal piyangoları arttırma, ikramiyelerini yükseltme yoluyla bu durumu teşvik eder.
Türkiye’de her hafta dört farklı şans oyunu oynatılmaktadır. Ayda ise 3 piyango çekilişi. Bu da her ay en az 20 kişinin zengin olması anlamına geliyor. (Bu cümleyle birlikte bile kazanma olasılığı gözünüzde daha çok büyüdü, öyle değil mi?)
Eski dostlarımdan biri, bir toplumun ilerlemesi için şans oyunlarının yasaklanması gerektiğini söylerdi, çünkü ona göre kısa yoldan zengin olma ümidi insanları yerinde saymaya teşvik ediyor. Bence de haksız değil.
İnsanlar, rahat bir kazanca ve buna bağlı olarak zahmetsiz zenginleşmeye inanmaya meyillidirler. İlginçtir ama, özel bir fobimiz yoksa, olumsuzluklara olan inançlarımız genelde olumlu olanlara göre daha zayıftır. Burada inançlarımızın ve ümitlerimizin kendimize kıyak geçtiğini düşünebiliriz. Gelin popüler şans oyunlarının büyük ikramiyet tutturma olasılıklarına bakalım [1]:
Sayısal Loto’da altı tutturma olasılığı yaklaşık 14 milyonda 1’dir. (1/13.983.816)
Şans topunda ise yaklaşık 4 milyonda 1’dir. (1/3.895.583)
On numarada ise 2,5 milyonda 1’dir. (1/2.546.203)
Aşağıda ise 2001 yılında ABD vatandaşlarının verileri kullanılarak hesaplanmış bir takım ölüm riskleri var [2]:
Elektrik çarpması sonucunda ölme olasılığı ise 5000’de 1’dir. (1/5.000)
Uçak kazasında ölme olasılığı 20000’de 1’dir. (1/20.000)
Bir selde ölme olasılığı 30000’de 1’dir. (1/30.000)
Yıldırım düşmesi sonucunda ölme olasılığı 83930’da 1. (1/83.930)
Köpek saldırısı 147717’de 1. (1/147.717)
Havai fişek gösterisi sırasında bir patlamada ölme olasılığı ise 615.488’de 1. (1/615.488)
Yani yağmurlu bir havada bir kolon sayısal loto oynayıp eve yürürken, büyük ikramiyenin bize çıkmasından ümitleniyor ancak o sırada yıldırım düşmesinden endişe etmiyorsak bu mantıksız bir davranış olur; çünkü o sırada tepemize bir yıldırım düşme olasılığı Sayısal Loto’da 6 tutturma olasılığının 166 katıdır. Yani 166 kez daha mümkün!
Hesap yapabilen tek tür olmamıza rağmen hesap yapmadığımız müddetçe olasılıklara yönelik tahmin yeteneklerimiz oldukça zayıftır.
Bunu anlatabilmek için bir örnek üzerinden soru soralım:
Bir sınıf dolusu insan ele alsak, bu sınıf en az kaç kişi olsa idi sınıfta aynı gün doğmuş iki kişinin bulunma olasılığı neredeyse %100 olurdu?
Hatta bir de şık verelim:
a) 57 b) 183 c) 365 d) 1000
Doğumgünü paradoksu
İlk etapta mantığımız bize 365 diyecektir. Basit mantıkla, 366 kişiyi aynı sınıfa doldurursam, 365’i farklı günde doğsa bile, bir tanesinin de bunlardan birisi ile aynı olacaktır ve böylece %100’e yakın sonucu elde edecektirim.
Garip olan ise yanıtın 57 olmasıdır. Aslında garip değildir. Hesap yapmadığımız için beynimiz burada bir gariplik sezinler. Sanki bir bit yeniği vardır.
Oysa ki olasılık hesapları 23 kişinin bulunduğu bir sınıfta aynı gün doğmuş iki insanın bulunma olasılığının %50 olduğunu –evet, sadece yazı-tura oyunundaki bilme olasılığı kadar- gösteriyor. Sınıf mevcudu 57’ye çıktığında bu olasılık neredeyse %100 oluyor. Kağıt üzerinde falan da değil… Bunu bir gün deneyebilirsiniz hatta.
İşin komiği ise bu problemin paradoks olarak anılması olayın mantıksızlığından değil, bizim mantıksızlığımızdan kaynaklanmaktadır. Gösterdiği şey ise olasılıklar hakkında genelde yanıldığımızdır.
İkna olmak için problemi şu iki şekilde değiştirelim:
Birincisi birebir benzetme olsun. Elimizde 1’den 365’e numaralanmış onlarca set tombala pulları olsun. Bunlardan 57 adedini bir torbaya koyalım. Bu torbada iki rakamın birbiriyle aynı olma olasılığı belki şimdi o kadar da uzak gelmemiştir.
İkincisi ise daha farklı bir yoldan olsun. Diyelim ki şimdi evinizi kapısından çıktınız. Karşınızdan gelen 56 insanı durdurup doğum tarihlerini sordunuz. Bunu sadece siz yaptığınızda olasılık o kadar yüksek olmayabilir. Aynı işlemi 56 kişi daha yapıyor olsun… En azından bu 56 kişiden sadece bir tanesinin, karşılaştığı 56 kişiden sadece biriyle doğum tarihlerinin aynı olma olasılığı yüksek değil midir?
Problemimize dönüp özetlersek: Yanıtın 1/365’ten daha karmaşık –ve kolay- olmasının sebebi problemin çözümünün algılandığı gibi, bir A kişisinin kalan 56 kişiyle mukayese edilmesi şeklinde değil, oradaki her bir kişinin, kalan 56 kişiyle mukayesesi şeklinde olmasıdır.
Kanıtlamak için özellikle bir sınıf dolusu insan bulmaya gerek yok.
En iyi erkek oyuncu oskarını alan 73 aktör arasında aynı gün doğan 6 çift varken, 67 aktris için üç çift var. Birleşik Krallığın 52 başbakanı arasında 2 çift aynı gün doğan başbakan vardır. [4]
Bu bilgileri öğrendikten sonra ben de biraz daha bizim tarihimizden örnekler aradım. Mesela, Osmanlı Padişahlarından doğum tarihi gün ve ay olarak bilinen 25 padişahın arasında her ikisi de 2 Ocak’ta doğmuş bir çifte rastlıyoruz (IV. Mehmed ve III. Osman) ve 21 Eylül’de doğmuş bir başka çifte (V. Murad ve II. Abdülhamid) rastlıyoruz. [4].
Ayrıca magazinel içerikli bir web sitesinde “ünlülerin doğumgünleri ve burçları” başlıklı bir liste buldum (tıklayın). 53 kişilik bu listedeki tüm sanatçıları bir sınıfa toplasa idim, burada da değil 1, tam 4 çiftim olacakmış. Nicole Kidman – Türkan Şoray (20 Haziran), Mehmet Aslantuğ – Catherine Zeta Jones (25 Eylül), Nil Karaibrahimgil – Tarkan (17 Ekim), Julia Roberts ve Teoman (20 Kasım).
(Meraklıları için bir adet simülatör adresi ve çözüm sayfası bağlantısını yazı sonuna koyuyorum [6])
Oyun değerini bulmak
Madem olasılıkları değerlendirmek konusunda bu kadar zayıfız, bir şans oyununun ya da kumarın mantıklı olup olmadığını nasıl anlarız?
Bir defa yüksek bir olasılık olmadıkça kumar oynamak mantıklı değildir, ama küçük bir ümit karşılığında bir eğlence aracıdır. Bu yüzden zararsız miktarlarla küçük oyunlar oynamak kimseye büyük bir yıkım getirmeyecektir. Ancak yukarıda saydığımız olasılık oranlarıyla baktığımızda şans oyunlarına ya da kumara servet yatırmak ya da bir ihtiyacı erteleyip kazanma ümidiyle kumar oynamak mantıksız bir davranıştır.
Yine de bize sunulan bir oyunun değerini basitçe hesaplayabilir ve en azından yatırdığımız değerin o kazanca değip değmeyeceğini, oyunun fiyatının pahalı olup olmadığını anlamanın bir yolu var.
Küçük bir örnekten başlayalım:
Diyelim ki size yazı tura oynamayı öneriyorum. Her atışımda 10 TL vereceksiniz. Tahmininiz doğru olursa size %50 fazlası ile iade edeceğim. Yani 15 TL.
Kazanma olasılığı ½’dir. Ödül ise 15 TL. Şu halde her bir atışın gerçek değeri ödül ile olasılığın çarpımı olmak üzere 7,5 TL’dir. Her atış için 10 TL ödemeniz, her zaman geçerli bir kuralın işletilmesi demektir: KASA DAİMA KAZANIR.
Bu mantıkla büyük ikramiye hedefiyle oynadığımız sayısal loto oyununu ele alalım.
25 Şubat tarihinde Milli Piyango İdaresi’nin düzenlediği Sayısal Loto çekilişi, 6 rakamı da tutturan 1 kişiye 1.501.527 TL kazandırmış. Bu oldukça büyük bir rakam. Hem de tek kişi kazanamış. [5]
İki başlık önce sunduğumuz olasılığı hatırlayalım: 1/13.983.816
Bu olasılıkla büyük ikramiyeyi çarparak oyun değerini bulalım: Yaklaşık 11 kuruş. Oysa Sayısal Loto çekilişi için bir kolon, yani tek bir tahmin ücreti 60 kuruştur. 49 kuruşluk bir fazla değer söz konusudur.
Aynı işlemi Şans Topu çekilişi için gerçekleştirelim. Şans Topu çekilişi 22 Şubat tarihinde 5 kişiye 122 şer bin 903 TL vermiş [5]. Olasılığımız ise 1/3.895.583 idi. Oyun değerini hesaplarsak yaklaşık 3 kuruş buluruz. O haftaki çekiliş için her bir kolon başına 57 kuruşluk bir fazlalık ödenmiş. Bu ikramiyeyi tek kişi kazansaydı oyun değeri 15 kuruş olurdu ve yine 45 kuruşluk bir fark doğardı.
Tabi ki bu farklar, içerisinde bir takım vergileri barındırıyorlar, ancak yine de kural değişmez: KASA DAİMA KAZANIR.
Sonuç
Bazen ümit bizi gereksiz ve mantıksız davranışlara itebilir. Kumarın ve şans oyunlarının, küçük rakamların eğlence ve oyun amacıyla harcandığı basit ve işlevsiz araçlar olması halinde başımız belaya girmez, ancak insanlar varlarını, yoklarını, servetlerini kumarda kaybedebildiklerine göre, bu oyunlar ölçü kaçırıldığında tehlikelidir.
Bir olayın ne kadar muhtemel olduğu konusunda kişisel yargılarımıza güvenmek genelde bizleri hataya sevkeder. Burada kendi deneyimlerimiz bizi yanıltabilirken, başkalarının çok dikkat çekici deneyimleri de bizi hataya sürükleyebilir. O yüzden,
Siz yine de matematiğe güvenin.
(Son not: Aşk ile kumar arasında bir korelasyon yoktur…)
Notlar ve Kaynaklar:
[1] (a) Sayısal loto için: 6! / (49!-43!) (b) Şans topu için: [5! x (34-5)!] / [(34! x 14)]
[2] Olasılıklar 2001 yılında, bir kısmı çok uzun dönemli verilere dayanacak şekilde listelenen kurumlardan alınmış verilerden elde edilmiştir: National Center for Health Statistics, CDC; American Cancer Society; National Safety Council; International Federation of Red Cross and Red Crescent Societies; World Health Organization; USGS; Clark Chapman, SwRI; David Morrison, NASA; Michael Paine, Planetary Society Australian Volunteers. (Kaynak: LiveScience.com)
[3] Kaynak: İyikidogdun.net
[4] Kaynak: Sosyalbilgilerci.com
[5] Milli Piyango İdaresi Resmi Web Sitesi – www.millipiyango.gov.tr
[6] Rastgele sayı üreterek denemek isteyenler buradan: http://betterexplained.com/examples/birthday/birthday.html Simülatör, bize 23 kişilik bir grup oluşturup her bireye 1 ila 365 arasında rastgele bir sayı ataması gerçekleştiriyor. Basitçe çözümü ise şöyle:
i) 23 kişilik bir sınıftaki olası tüm çiftlerin sayısını bulalım: C(23,2) = 23.22/2 = 253 olası çift.
ii) Bir çiftin birbirinden farklı doğum günü tarihleri olma olasılığı 1-(1/365) = 364/365 = 0.997260
iii) Şu halde tüm çiftler birbirinden bağımsız olduğuna göre tüm olasılıklar birbirleriyle çarpılır: (364/365)^253 = 0.4995
iv) İşte bu bize niçin 23 kişilik bir sınıfta %50 ihtimalle aynı gün doğmuş bir çift bulabildiğimizin ispatını verir.
v) Genelleştirilmiş formül:
[7] Anasayfa resmi; Flickr – http://www.flickr.com/photos/robnwatkins/ Lisans: CC BY-NC-ND 2.0
çok zevkle okudum pek bilinmeyen ilginç bir konuyu güzel akıcı bir dille anlatmış teşekkür ederim, bu arada simülatörü kullanınca daha da şoka uğradım :)
Salim Bey,
Doğumgünü paradoksu hakikaten de ilk etapta insanın aklının almadığı bir sonuç doğuruyor ama gerçek olması bir o kadar da şaşırtıcı. İlginiz için çok teşekkür ederim. Selamlarımla.
T.Uyar
sayıyı 1000 yapınca daha çok çift çıkıyor 23 yapınca bazen çıkmama ihtimali çıkıyor buada bir zıtlık gördüm sanki