SAYILAR TEORİSİNDE HEYECAN VERİCİ GELİŞME

Sayılar teorisi hepimizin ilk tutkusu, ilk göz ağrısıdır. 10 sene önce matematik okumaya ilk başladığımda, hemen hemen her genç matematikçi adayı gibi ben de sayılar teorisi çalışmak için yola çıktım. Oysa bu alanın temel yöntemlerini, problemlerini bile bilmiyordum. Konuya dair neredeyse hiç bir bilgim yoktu ama liseden beri adını bildiğim matematikçiler hep bu alanda çalışmışlardı, Fermat, Euler, Gauss, Ramanujan… Bütün matematik sayılar teorisi değilse bile, herşey sayılar teorisi içindi. Ne de olsa soruları matematiğin en temel nesneleri, sayılar hakkındaydı, üstelik anlamak için temel matematik bilgisi yeterliydi.

Mayıs ayının ortalarında, sayılar teorisinin en önemli problemlerinden ikiz asallar sanısının çözümü yolunda önemli gelişmeler oldu. Bu problem asal sayılarla ilgili. Sayılar teorisinin temel problemleri hep asal sayılarla ilgilidir. Asal sayıların dağılımını, davranışlarını anlamakla ilgilidir. Okur bu yazıyı hem bu soru hakkındaki gelişme konusunda güncel bir haber olarak, hem de bu soruyla ilgili temel kavramları açıklamaya çalışan popüler bir yazı olarak okumalı. Bu sebeple okumakta olduğunuz yazı ne bir haber yazısı, ne de popüler bir matematik yazısı. İkisini birden yapmaya kalkıştığı için biraz dağınık bir deneme olarak görülmeli.

Dileyen okur açıklama kısmını atlayıp yazının sonuna, haber kısmına gelebilir. Açıklama kısmındaki teoremler hem sayılar teorisinin temel teoremleri arasındadır, hem de genel kültür sayılırlar. Kanıtları da oldukça basit argümanlara dayanır, ancak dileyen okur kanıtları da atlamakta serbesttir.  İkiz asallar sanısının ne olduğunu ve çözüm yolundaki gelişmeleri açıklamaya geçmeden önce asal sayıların neden önemli olduğunu biraz açıklayayım.

Biraz Sayılar Teorisi

Asal sayılar bir ve kendisinden başka böleni olmayan doğal sayılar, asal olmayan doğal sayılara bileşik denir. Yani bileşik sayılar, bir asala bölünenler. Asalların sonsuzluğunu M.Ö. 300 yılı civarında ilk kanıtlayan Öklid. Kanıtı oldukça basit ama bir o kadar da zekicedir.

Teorem 1: Sonsuz miktarda asal sayı vardır.

Kanıt: Diyelim asal sayılar sonlu, $latex p_1,…,p_n$ olarak adlandıralım. Şimdi, $latex N$ sayısı bu asalların çarpımının bir fazlası olsun, başka bir deyişle

$latex N = (p_1…p_n)+1$

$latex N$ sayısının $latex p_1,…,p_n$ asallarının hepsinden farklı olduğu bariz. Ama bütün asalların bunlar olduğunu varsaydık. O zaman $latex N$ sayısı bileşik sayı olmalı. Demek ki bu asallardan birisi $latex N$’yi bölmek zorunda. Öteki taraftan, $latex N$’nin $latex p_1,…,p_n$ sayılarından herhangi birine bölümünden kalan $latex 1$. Öyleyse bu listede olmayan başka asallar olmalı.

Asal sayıların sayılar teorisinin temelinde olmasının en önemli sebeplerinden birisi aritmetiğin temel teoremi olarak bilinir.

Teorem 2: Birden büyük her $latex n$ doğal sayısı asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir. Dahası bu yazım tek bir şekilde yapılabilir.

Biraz daha matematiksel olarak, birden büyük her $latex n\in\mathbb N$ için öyle $latex p_1,…,p_k$ asalları ve öyle $latex a_1,…,a_k$ doğal sayıları vardır ki

$latex n = p_1^{a_1}…p_k^{a_k}$;

ve bu eşitliği sağlayan başka asal sayılar yoktur.

Kanıt: $latex n$ üzerine tümevarım. Eğer $latex n$ sayısı asalsa, a zaman bir asalın çarpımına eşit. Yani

$latex n = p_1$

Şimdi $latex n$’nin asal olmadığını ve $latex n$’den ufak bütün sayıların asalların çarpımı olarak yazılabildiğini varsayalım (tümevarım hipotezi). Bu durumda $latex n$ birden ve kendisinden farklı iki sayının çarpımı olarak yazılabilir. Diyelim $latex n=n_1n_2$. Tümevarım hipotezinden dolayı $latex n_1$ ve $latex n_2$ sayıları asalların çarpımı olarak yazılabilir. Başka bir deyişle öyle $latex p_1,…,p_l, p_{l+1},…,p_k$  asalları ve $latex a_1,…,a_l,a_{l+1},…,a_k$ doğal sayıları vardır ki

$latex n_1=p_1^{a_1}…p_l^{a_l}$ ve $latex n_2=p_{l+1}^{a_{l+1}}…p_k^{a_k}$

Dolayısıyla

$latex n=n_1n_2=p_1^{a_1}…p_l^{a_l}p_{l+1}^{a_{l+1}}…p_k^{a_k} $

$latex p_1,…,p_k$ sayılarına $latex n$’nin asal çarpanları denir.

Son olarak bu yazımın tekliğini kanıtlayalım. Diyelim $latex n$ asal çarpanlarına iki farklı şekilde ayrılsın. Yani $latex p_1,…,p_k$ ve $latex q_1,…,q_s$ asalları ve $latex a_1,…,a_k$ ve $latex b_1,…,b_s$ doğal sayıları için

$latex n=p_1^{a_1}…p_k^{a_k} = q_1^{b_1}…q_s^{b_s}$

olsun. Aslında $latex s=k$, ve her $latex 1\leq i\leq k =s$ için $latex p_i=q_i$ ve $latex a_i=b_i$ olduğunu kanıtlayacağız.

Eşitliğin her tarafını $latex p_1^{a_1}$ bölüp

$latex p_2^{a_2}…p_k^{a_k} =\frac{q_1^{b_1}…q_s^{b_s}}{p_1^{a_1}}$

elde edelim. Eşitliğin iki tarafının da doğal sayı olması gerektiğine dikkatinizi çekerim. Demek ki sol taraftaki paydadaki $latex p_1^{a_1}$ ifadesi sadeleşmeli. Yani $latex q_i^{b_i}$’lerden birine eşit olmalı. Sıralama önemli olmadığından varsayalım $latex p_1^{a_1}=q_1^{b_1}$. Daha sonra her iki tarafı $latex p_2^{a_2}$’ye bölüp aynı argümanı tekrarlayalım. Burada durmayıp aynı argümanı tekrarlamaya davam edersek $latex k=s$ olmak zorunda. Çünkü eğer değilse, eşitliğin bir tarafında $latex 1$ diğer tarafında birinde büyük bir asal sayı kalacak. Aynı zamanda $latex 1\leq i\leq k =s$ için $latex p_i=q_i$ ve $latex a_i=b_i$ olduğunu da göstermiş oluyoruz.

Aritmetiğin temel teoremi sadece çarpanlara ayırmadan bahsetmiyor. Aslında asal sayılar bir anlamda diğer sayıların yapıtaşlarıdır diyor. Diğer doğal sayıları anlamak için asalları anlamak yeterli diyor. Bu sebeple asal sayıların özelliklerini anlamak, nasıl dağıldıklarını anlamak önemli!

Asalların dağılımı oldukça kaotik, anlamak hiç kolay değil. Küçük sayılar arasında asal sayılara oldukça sık rastlanıyor aslında, 100’den küçük bütün asallar:
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,
83, 89, 97] Ama sayılar büyüdükçe asallar seyrekleşiyor. Aralarındaki fark istediğimiz kadar büyük olan ardışık asal sayılar bulabilmek mümkün.

Teorem 3: Asal Çölü.  Her $latex n\in\mathbb N$ için aralarındaki fark $latex n$’den büyük olan ardışık iki asal sayı vardır.

Kanıt:Herhangi bir $latex n$ doğal sayısı alalım. Şu ardışık sayılara bakalım.

[n!+2,n!+3,…n!+n]

Tam $latex n$ tane ardışık sayı yazdık (Hatırlatma: $latex n!$, $latex n$’den küçük eşit bütün sayıların çarpımı, yani $latex n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot…\cdot n$). Bu sayıların hepsi bileşiktir. Her $latex 1\leq i\leq n$ sayısı için $latex n!+i$ sayısı $latex i$’ye bölünüyor. Demek ki hiç biri asal olmayan $latex n$ tane ardışık sayı bulduk. Ama sonsuz tane asal olduğunu da biliyoruz. Demek ki aralarındaki fark en az $latex n$ olan ardışık iki tane asal sayı var.

İkiz asallar sanısı

Sonsuz sayıda asal olduğunu yukarıda kanıtladım. Bunun benzeri bir soru: Aralarındaki fark 2 olan sonsuz asal var mıdır? Mesela 3 ve 5, 11 ve 13, 17 ve 19 gibi. İlk bakışta son derece basit görünen bu soru sayılar teorisinin en zor sorularından birisi! Sorunun 14 Mayıs günü Nature dergisinde çıkan bir habere göre çözümünde oldukça önemli bir gelişme oldu.

New Hampshire Üniversitesi’nden Yitnag Zhang aralarındaki fark en fazla 70 milyon olan sonsuz miktarda ardışık asal sayı olduğunu kanıtladı. Çok etkileyici bir sonuç gibi görünmeyebilir. 70 milyon oldukça büyük bir sayı, ama bu sonuçu çarpıcı hale getiren bugüne kadar böyle bir sonlu sayının varlığının bilinmemesi! Yukarıda aralarındaki fark istediğimiz kadar büyük ardışık asallar bulabileceğimizi gösterdik. Şimdiye kadar ardışık asallar arasındaki farkın sürekli büyüyüp büyümediği bilinmiyordu. Zhang’ın sonuçu durumun böyle olmadığını söylüyor. Ardışık asalların arasındaki fark sürekli büyümüyor. Aralarındaki fark 70 milyonu aşmayan sonsuz sayıda ardışık asal var. Zhang ilk defa aralarındaki fark sonlu bir sayıyla sınırlı sonsuz sayıda asal sayı olduğunu gösterdi. 70 milyondan 2’ye inmek için yapılacak çok iş var elbette ama bugüne kadar böyle bir sınırın varlığı bilie bilinmediği göz önüne alındığında, Zhang’ın sonucunun ikiz asal sanısının kanıtı yolunda büyük bir adım olduğu açık.

Daha önce, 2007 yılında bu problemin çözümü yolunda çok büyük bir gelişme Goldston, Pintz ve Yıldırım aralarındaki fark en fazla 16 olan sonsuz sayıda ardışık asal olduğunu kanıtladığında yaşanmıştı. Ama kanıtlarında bir bit yeniği var. Goldston, Pintz ve Yıldırım’ın kanıtı halen kanıtlanmamış, Elliott–Halberstam sanısı olarak bilinen son derece güçlü başka bir sanıya dayanıyor. Elliot-Halberstam sayılar teorisinin en teknik ve en zor problemlerinden birisi olarak görülüyor. Goldston, Pintz ve Yıldırım’ın sonucu koşullu, Elliott–Halberstam sanısı doğruysa bir anlamı var; oysa Zhang’ın sonucu koşulsuz, kanıtlanmamış hiç birşeye dayanmadığı için, 70 milyon 16’dan çok daha büyük olmasına rağmen daha iyi bir sonuç.

Sayılar teorisi çalışan pek çok araştırmacı Zhang’ın bu sonucunu büyük coşkuyla karşıladı. Zhang’ın yönteminin 70 milyonu 2’ye düşürecek kadar geliştirilemeyeceğini düşünseler de çözüm yolunda atılmış büyük bir adım olduğuna hemfikir. Zhang, yönteminin geliştirilebileceğini ve 70 milyonu – 2’ye kadar olmasa da- düşürmenin münkün olabileceğini söylüyor.

Kaynakça:

Goldston, D., Pintz, J., Yıldırım, C. Y. , The path to recent progress on small gaps between primes, Analytic number theory, Clay Mathematics Proceedings, Providence, RI, Amer. Math. Soc., 7 (2007), 129-139.

Heath, T. L. (çevirmen ve editör), Euclid, The Thirteen Books of the Elements, vol. 2, Books III – IX,  Dover Publications, New York, 1956.

McKee, M, First proof that infinitely many prime numbers come in pairs, Nature, 2013.
http://www.nature.com/news/first-proof-that-infinitely-many-prime-numbers-come-in-pairs-1.12989 erişim tarihi: 31/05/2013

Mollin, R, Fundamental Numbert Theory with Applications, 2nd. Ed.,Chapman & Hall CRC, 2008.

Zhang, Y. Bounded Gaps Between Primes, Annals of Mathematics (Princeton University and the Institute for Advanced Study). Dergiye ulaştığı tarih:  21 Mayıs 2013.